Successione definita per ricorrenza
Salve, sono nuovo utente del forum quindi innanzi tutto faccio i complimenti per il sito 
ora passando al mio problema avrei una successione definita per ricorrenza che ho svolto ma sul cui procedimento non sono sicuro, potreste controllare?
ora passando al mio problema avrei una successione definita per ricorrenza che ho svolto ma sul cui procedimento non sono sicuro, potreste controllare?
Risposte
La successione \((a_n)\) è fatta da numeri \(>1\).
Infatti \(a_1=2>1\) ed \(a_2=5>1\); supposto che \(a_n>1\), si ha anche:
\[
a_{n+1}=a_n^2+a_n-1>1+1-1=1
\]
e l'asserto segue per induzione.
La succesione \((a_n)\) è strettamente crescente.
Invero, \(a_2=5>2=a_1\); e, d'altra parte, supponendo che \(a_{n+1}>a_n\) si ha pure:
\[
a_{n+2}=a_{n+1}^2+a_{n+1}-1 >a_n^2+a_n-1=a_{n+1}
\]
e l'asserto segue per induzione.
Conseguentemente il \(\lim_n a_n\) esiste; detto \(l\) tale limite, esso o è finito o è \(+\infty\).
Se, per assurdo, esso fosse finito, dovrebbe soddisfare anche l'equazione di punto fisso \(l=l^2+l-1\), i.e. \(l^2=1\); conseguentemente \(l=\pm 1\). Ma ciò è assurdo, in quanto \(a_n\geq a_1=2\) implica (per monotonia) \(l\geq 2\).
Pertanto \(l=+\infty\).
Infatti \(a_1=2>1\) ed \(a_2=5>1\); supposto che \(a_n>1\), si ha anche:
\[
a_{n+1}=a_n^2+a_n-1>1+1-1=1
\]
e l'asserto segue per induzione.
La succesione \((a_n)\) è strettamente crescente.
Invero, \(a_2=5>2=a_1\); e, d'altra parte, supponendo che \(a_{n+1}>a_n\) si ha pure:
\[
a_{n+2}=a_{n+1}^2+a_{n+1}-1 >a_n^2+a_n-1=a_{n+1}
\]
e l'asserto segue per induzione.
Conseguentemente il \(\lim_n a_n\) esiste; detto \(l\) tale limite, esso o è finito o è \(+\infty\).
Se, per assurdo, esso fosse finito, dovrebbe soddisfare anche l'equazione di punto fisso \(l=l^2+l-1\), i.e. \(l^2=1\); conseguentemente \(l=\pm 1\). Ma ciò è assurdo, in quanto \(a_n\geq a_1=2\) implica (per monotonia) \(l\geq 2\).
Pertanto \(l=+\infty\).
La equazione alle differenze oggetto di studio e' la seguente...
$a_{n+1}= a_{n}^{2} + a_{n} -1 $ (1)
... e per il momento prescindiamo dal valore iniziale $a_{0}$. La (1) puo' essere scritta come...
$\Delta_{n}= a_{n+1}-a_{n} = a_{n}^{2} -1 = f(a_{n})$ (2)
La funzione $f(x)=x^{2}-1$ e' illustrata in figura...
[img]http://www.123homepage.it/u/i65927523._szw380h285_.jpg.jfif[/img]
Essa presenta un 'punto fisso attrattivo' [un valore di x in cui e' $f(x)=0$ e $f^{\ '}(x) < 0$...] in $x_{0}=-1$ e un 'punto fisso repulsivo' {un valore di x in cui e' $f(x)=0$ e $f^{\ '}(x)>0$...] in $x_{1}=1$ per cui, salvo casi molto particolari, la sequenza $a_{n}$, se converge, converge a $x_{0}$. Il fatto che $x_{0}$ sia punto fisso attrattivo tuttavia e' una delle condizioni necessarie per la convergenza e per avere questa deve esserci un interallo $[x_{0}- a, x_{0}+ b]$ in cui e' verificata la relazione $|f(x)| < 2\ |x_{0}-x|$ e cio' nel caso in esame non e' verificato per cui, salvo casi molto particolari, una sequenza soluzione della (1) per un certo valore iniziale $a_{0}$ non converge...
A titolo di esempio sono illustrati i casi con $a_{0}= \frac{1}{2}$...
http://www.wolframalpha.com/input/?i=f% ... 80%29%3D.5
... e con $a_{0}= - \frac{1}{2}$ ...
http://www.wolframalpha.com/input/?i=f% ... 0%29%3D-.5
In entrambi i casi si vede che la sequenza soluzione oscilla indefinitamente intorno al punto fisso attrattivo $x_{0} = -1$...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
$a_{n+1}= a_{n}^{2} + a_{n} -1 $ (1)
... e per il momento prescindiamo dal valore iniziale $a_{0}$. La (1) puo' essere scritta come...
$\Delta_{n}= a_{n+1}-a_{n} = a_{n}^{2} -1 = f(a_{n})$ (2)
La funzione $f(x)=x^{2}-1$ e' illustrata in figura...
[img]http://www.123homepage.it/u/i65927523._szw380h285_.jpg.jfif[/img]
Essa presenta un 'punto fisso attrattivo' [un valore di x in cui e' $f(x)=0$ e $f^{\ '}(x) < 0$...] in $x_{0}=-1$ e un 'punto fisso repulsivo' {un valore di x in cui e' $f(x)=0$ e $f^{\ '}(x)>0$...] in $x_{1}=1$ per cui, salvo casi molto particolari, la sequenza $a_{n}$, se converge, converge a $x_{0}$. Il fatto che $x_{0}$ sia punto fisso attrattivo tuttavia e' una delle condizioni necessarie per la convergenza e per avere questa deve esserci un interallo $[x_{0}- a, x_{0}+ b]$ in cui e' verificata la relazione $|f(x)| < 2\ |x_{0}-x|$ e cio' nel caso in esame non e' verificato per cui, salvo casi molto particolari, una sequenza soluzione della (1) per un certo valore iniziale $a_{0}$ non converge...
A titolo di esempio sono illustrati i casi con $a_{0}= \frac{1}{2}$...
http://www.wolframalpha.com/input/?i=f% ... 80%29%3D.5
... e con $a_{0}= - \frac{1}{2}$ ...
http://www.wolframalpha.com/input/?i=f% ... 0%29%3D-.5
In entrambi i casi si vede che la sequenza soluzione oscilla indefinitamente intorno al punto fisso attrattivo $x_{0} = -1$...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Intanto vi ringrazio per le risposte molto dettagliate, riguardo questo esempio specifico ho capito come procedere ma ancora ho qualche dubbio nelle successioni ricorsive con parametro ad esempio nella seguente \begin{cases} a_0= \lambda \\ a_{n+1}= \sqrt{a_n} \end{cases} nella quale il libro giunge a delle conclusioni che non ho ben capito infatti dice che per 0< lambda <1 la successione risulta crescente e limitata quindi converge ad 1 mentre per lambda >1 la successione risulta decrescente e limitata inferiormente quindi converge ad 1.Potreste spiegarmi come giunge a queste conclusioni, soprattutto nel secondo caso( lambda>1)?
Immagino ci sia \(\sqrt{a_n}\) al secondo membro, giusto?
E che sia \(a_0=\lambda\) nella condizione iniziale, vero?
E che sia \(a_0=\lambda\) nella condizione iniziale, vero?
si scusami... lo sistemo subito
In tal caso l'equazione alle differenze diviene...
$\Delta_{n} = a_{n+1} - a_{n} = \sqrt{a_{n} } - a_{n} = f(a_{n})$ (1)
... dove f(x) ha un solo punto fisso attrattivo in x=1 e un solo punto fisso repulsivo in x=0. Qualunque sia il valore iniziale $\lambda >0$ la sequenza $a_{n}$ converge monotonicamente a x=1...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
$\Delta_{n} = a_{n+1} - a_{n} = \sqrt{a_{n} } - a_{n} = f(a_{n})$ (1)
... dove f(x) ha un solo punto fisso attrattivo in x=1 e un solo punto fisso repulsivo in x=0. Qualunque sia il valore iniziale $\lambda >0$ la sequenza $a_{n}$ converge monotonicamente a x=1...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
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