Successione decrescente
Buongiorno a tutti, ho una domanda da porvi: ho la successione $\sum_{n=1}^oo ((3^n)-1)/(3^n*n)(-1)^n$. Devo vedere se converge e, per fare ciò, ovviamente devo usare il criterio di Leibnitz, dunque devo verificare che sia decrescente e poi che sia infinitesima.. Per wuanto riguarda la decrescenza ho provato sia con la derivata minore di zero sia con la disequazione $a_n > a_(n+1)$ ma non riesco a uscirne! Qualcuno potrebbe scrivere i passaggi salienti di una delle due disequazioni? Ieri ho anche parlato con la Prof. la quale ha iniziato a svolgere la derivata e poi ha detto "Viene un pò troppo difficile, prova con $a_n > a_(n+1)$" ma poi alla fine non ha svolto l'esercizio nè in un modo nè nell'altro.. Spero che almeno voi riusciate a risolvermi questo problema! Grazie!
Risposte
Sono solo calcoli:
$(3^n -1)/(3^n *n) > (3^(n+1) -1)/(3^(n+1) *(n+1)) <=>$
$<=> (3^n -1)*[3^(n+1) *(n+1)]> (3^n *n)*[3^(n+1) -1]<=>$ (divido per $3^n$ ambo i membri)
$<=> (3^n -1)*3*(n+1) >n*(3^(n+1) -1)<=> (3^(n+1) -3)*(n+1) >n*(3^(n+1) -1)<=> $
$<=>n*(3^(n+1) -3) +3^(n+1) -3 > n*(3^(n+1) -1)<=> 3^(n+1) -3 > n*(3^(n+1) -1-3^(n+1)+3)<=>$
$<=> 3^(n+1) >2n+3$ , e questo è sempre vero.
$(3^n -1)/(3^n *n) > (3^(n+1) -1)/(3^(n+1) *(n+1)) <=>$
$<=> (3^n -1)*[3^(n+1) *(n+1)]> (3^n *n)*[3^(n+1) -1]<=>$ (divido per $3^n$ ambo i membri)
$<=> (3^n -1)*3*(n+1) >n*(3^(n+1) -1)<=> (3^(n+1) -3)*(n+1) >n*(3^(n+1) -1)<=> $
$<=>n*(3^(n+1) -3) +3^(n+1) -3 > n*(3^(n+1) -1)<=> 3^(n+1) -3 > n*(3^(n+1) -1-3^(n+1)+3)<=>$
$<=> 3^(n+1) >2n+3$ , e questo è sempre vero.
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