Successione: convergenza uniforme in sottointervallo

[floppyes]

Ciao a tutti!

Ho il seguente esercizio sulle successioni, sono risuscito a svolgerlo tutto ma non mi torna un risultato:

Testo:
Si consideri la successione di funzioni $f_n$ così definita:
$f_n(x)=(e^(n(x-6))/(e^(n(x-6))+6))$
Si determini l'insieme di convergenza puntuale e la funzione limite. Si discuta la convergenza uniforme in I ed eventualmente nei suoi sottoinsiemi.

Soluzione:

Vado a determinare la convergenza puntuale della successione. Vedo che l'insieme di convergenza sarà tutto $R$ e il limite dipenderà dal variare di $x-6$

Divido in tre casi:
Per $x>6$ il $lim_(n->+oo)f_n(x)=1$
Per $x=6$ il $lim_(n->+oo)f_n(x)=1/7$
Per $x<6$ il $lim_(n->-oo)f_n(x)=0$

Per calcare il limite ho chiamato $n(x-6)=z$ e ho calcolato il limite di $(e^z)/(e^z+6)$

Poichè il limite non è unico allora so che nell'intervallo $[0,+oo[$ la successione non può convergere uniformemente. Controllo allora cosa succede nei casi:
$a>6$ dove $[a,+oo[$
$b<6$ dove $[b,-oo[$

Per $b<6$ diventa:
$lim_(n->-oo)sup|(e^(n(a-6))/(e^(n(a-6))+6))-0|$ che risulta $0$ quindi converge uniformemente

Invece nel caso $a>6$ dove $[a,+oo[$ a me risulta che il sup viene $-oo$ e quindi anche il limite mi risulta $+oo$ e allora non ho convergenza uniforme.. invece il risultato corretto è che c'è convergenza anche per $b<6$ dove $[b,+oo[$

Qualche idea?
Grazie
Ciao

[gugo82]

La successione di funzioni è fatta da funzioni continue; se, per assurdo, essa convergesse uniformemente in \(\mathbb{R}\) (o in \(]-\infty ,6]\), oppure in \([6,\infty[\) ovvero in \([a,b]\) con \(a<6 Pertanto la successione assegnata non converge uniformemente in \(\mathbb{R}\) (o in \(]-\infty ,6]\), oppure in \([6,\infty[\) ovvero in \([a,b]\) con \(a<6
Sono pronto a scommettere che la successione converge uniformemente in ogni insieme del tipo \(]-\infty ,a]\cup [b,\infty[\) con \(a<6

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[floppyes]

Ciao!

Scommessa vinta la successione converge uniformemente in ogni insieme ti quel tipo.. questa è soluzione precisa:

"Si ha convergenza puntuale in tutto $R$ alla funzione $f(x)=0$ se $x<6$, $f(6)=1/7$, $f(x)=1$ se $x>6$. La convergenza è uniforme su ogni intervallo del tipo $[a,+oo[$, con $a>6$ e $]-oo,b]$ con $b<6$."

E' già il terzo esercizio che faccio ma ogni volta mi esce che converge solo in un intervallo e nell'altro no!

Il procedimento che applico è questo.. devo dimostrare la convergenza uniforme in $[a,+oo[$, con $a>6$.. quindi il limite puntuale in questo caso risulta $1$ come calcolato prima. Allora vado a calcolare il limite:

$lim_(n->+oo)sup|e^(n(a-6))/(e^(n(a-6))+6)-1|$

Faccio il denominatore comune e trovo che devo calcolare il sup di: $|-6/(e^(n(a-6))+6)|$
Applico quindi il metodo della derivata prima e ottengo:
$f'=-(6e^6e^x)/(e^x+6e^6)^2$

Numeratore $>=0$... quindi $e^x<=0$... non potrà mai esserlo perchè sempre positivo
Denominatore $>0$.. essendo una quantità elevata alla seconda sarà sempre positivo.

Allora ottengo che la derivata è sempre decrescente..

Io ho pensato.. essendo la derivata sempre decrescente allora il limite a $+oo$ si avvicinerà sempre di più a $0$ e allora è dimostrata la convergenza uniforme nell'intervallo $[a,+oo[$, con $a>6$

Può essere così oppure è fantascienza?

Grazie
Ciaoo!

[floppyes]

Ciao!

Nessuno riesce a confermarmi la seconda parte dello svolgimento?

Grazie mille
Ciaoo!

[floppyes]

Ciao!

Nessuno che può confermarmi se l'esercizio è corretto?

Nel post precedente ho dimostrato la convergenza nell'intervallo $[a,+oo[$ e poi ho provato a dimostrare la convergenza anche nell'intervallo $]-oo,b]$ con $b<6$.

In questo caso calcolo il sup, quindi.

$f_n(x)=(e^(n(x-6))/(e^(n(x-6))+6))$ che dopo un pò di semplificazioni diventa $(e^x)/(e^x+6e^6)$. Quindi calcolando la derivata prima ottengo

$f_n'(x)=(6e^(6x))/(e^x+6e^6)^2$

Quindi numeratore $>=0$ ottengo: $6e^(6x)>=0$ sempre positivo.
denominatore è alla seconda quindi sempre positivo.

Allora ho ottenuto che la mia derivata è sempre crescente.. quindi controllando a $-oo$ si avvicinerà sempre di più a zero, quindi anche in questo intervallo converge uniformemente.

E' giusto il ragionamento?

Grazie
Buona Domenica
Ciaoo