Successione convergenza
Ciao a tutti!
Lo ammetto le successioni non le ho mai digerite per bene.. Adesso ho capito come risolvere le successioni "normali" con $x^n$ ma con le successioni con valori come arctg e coseni non ho ancora molto chiaro come risolverle..
$f_n(x)=(4/piarctan(x/7))^n/(49+x^2)$
Devo calcolare il limite puntuale e la convergenza uniforme in tutto $R$
Io adesso non ho mica capito come devo procedere a calcolare la convergenza puntuale e anche la convergenza uniforme..
Come posso semplificare l'arctg in modo da calcolare il limite puntuale? E per trovare il sup della funzione? Pensavo di derivare la $f_n$ e trovare il massimo ma non sono riuscito poi a studiare la derivata.
Io ho letto che per calcolare l'insieme di convergenza dell'arctg devo guardare il suo argomento.. Quindi io direi che l'argomento diventa:
$(x/7)^n$
Quindi converge per $-7<=x<=7$
Diverge se $x>7$
Oscilla se $x<=-7$
Fino a qua è corretto?
Grazie mille
Ciaoo
Lo ammetto le successioni non le ho mai digerite per bene.. Adesso ho capito come risolvere le successioni "normali" con $x^n$ ma con le successioni con valori come arctg e coseni non ho ancora molto chiaro come risolverle..
$f_n(x)=(4/piarctan(x/7))^n/(49+x^2)$
Devo calcolare il limite puntuale e la convergenza uniforme in tutto $R$
Io adesso non ho mica capito come devo procedere a calcolare la convergenza puntuale e anche la convergenza uniforme..
Come posso semplificare l'arctg in modo da calcolare il limite puntuale? E per trovare il sup della funzione? Pensavo di derivare la $f_n$ e trovare il massimo ma non sono riuscito poi a studiare la derivata.
Io ho letto che per calcolare l'insieme di convergenza dell'arctg devo guardare il suo argomento.. Quindi io direi che l'argomento diventa:
$(x/7)^n$
Quindi converge per $-7<=x<=7$
Diverge se $x>7$
Oscilla se $x<=-7$
Fino a qua è corretto?
Grazie mille
Ciaoo
Risposte
Attenzione quando includi il valore \(7\) nei tuoi ragionamenti, perché \(\arctan(1) = 1\)!
In generale, quello che devi fare è prima calcolare la convergenza puntuale, cioè fissare un certo valore di \(x\) e poi passare al limite su \(n\).
Fatto questo, potresti ottenere una funzione \(f\) che è il limite puntuale delle \(f_n\).
A questo punto, se la successione converge anche uniformemente, allora converge alla funzione \(f\) di cui sopra.
Puoi quindi procedere con la definizione, cioè studiare \(\lim_n \sup_x |f_n(x) - f(x)|\) e vedere se va a zero, oppure procedere con metodi più furbi, se ne hai visti.
In generale, quello che devi fare è prima calcolare la convergenza puntuale, cioè fissare un certo valore di \(x\) e poi passare al limite su \(n\).
Fatto questo, potresti ottenere una funzione \(f\) che è il limite puntuale delle \(f_n\).
A questo punto, se la successione converge anche uniformemente, allora converge alla funzione \(f\) di cui sopra.
Puoi quindi procedere con la definizione, cioè studiare \(\lim_n \sup_x |f_n(x) - f(x)|\) e vedere se va a zero, oppure procedere con metodi più furbi, se ne hai visti.
Ciao!
Ok grazie mille. Però ho dei problemi nello studio della convergenza.
Prendiamo il caso della convergenza puntuale:
Vado a studiarla nell'intervallo: $[0,7[$ poi in $x=7$ e infine in $]7,+oo[$
Primo intervallo.. ottengo che
$lim_(n->+oo) f_n(x)$ converge puntualmente a $f(x)=0$ se $x=0$ altrimenti in $]0,7[$ il limite puntuale risulta $+oo$
In $x=7$ invece risulta $f(x)=1/98$ mentre nell'ultimo intervallo il limite a me risulta essere sempre $+oo$
Invece il risultato corretto è:
converge puntualmente a $f(x)=0$ se $-7<=x<=7$ $f(7)=1/98$
diverge se $x>7$ oscilla se $x<=-7$
Come mai converge a $0$ in quell'intervallo?
Per calcolare poi la convergenza uniforme.. pensavo di calcolare il sup mediante la derivata di $f_n(x)$... esistono dei trucchetti più semplici per arrivarci?
Grazie
Ciaoo!
Ok grazie mille. Però ho dei problemi nello studio della convergenza.
Prendiamo il caso della convergenza puntuale:
Vado a studiarla nell'intervallo: $[0,7[$ poi in $x=7$ e infine in $]7,+oo[$
Primo intervallo.. ottengo che
$lim_(n->+oo) f_n(x)$ converge puntualmente a $f(x)=0$ se $x=0$ altrimenti in $]0,7[$ il limite puntuale risulta $+oo$
In $x=7$ invece risulta $f(x)=1/98$ mentre nell'ultimo intervallo il limite a me risulta essere sempre $+oo$
Invece il risultato corretto è:
converge puntualmente a $f(x)=0$ se $-7<=x<=7$ $f(7)=1/98$
diverge se $x>7$ oscilla se $x<=-7$
Come mai converge a $0$ in quell'intervallo?
Per calcolare poi la convergenza uniforme.. pensavo di calcolare il sup mediante la derivata di $f_n(x)$... esistono dei trucchetti più semplici per arrivarci?
Grazie
Ciaoo!
Wait, rileggendo il tutto alla luce del giorno mi accorgo di aver scritto una cosa mentre ne pensavo un'altra, perché ovviamente non è \(\arctan(1) = 1\) ma \(\arctan(1) = \frac \pi 4\).
Un'altra cosa a cui devi prestare attenzione è appunto che al numeratore hai un fattore \(\frac 4 \pi\) che viene elevato alla \(n\) e quindi il numeratore converge a zero tutte le volte che \(\frac 4 \pi \arctan(\frac x 7)\) è minore di \(1\) in modulo. Giusto?
Questo risponde alla tua domanda.
Un'altra cosa a cui devi prestare attenzione è appunto che al numeratore hai un fattore \(\frac 4 \pi\) che viene elevato alla \(n\) e quindi il numeratore converge a zero tutte le volte che \(\frac 4 \pi \arctan(\frac x 7)\) è minore di \(1\) in modulo. Giusto?
Questo risponde alla tua domanda.
Ciao!
Perfetto quindi devo fare riferimento alla forma base: $x^n$ converge se <1.. quindi nel mio caso so che converge a zero quando $4/pi arctan(x/7)<1$ posso concludere che converge a $f(x)=0$ quando $x<7$
Per la convergenza uniforme puoi darmi qualche suggerimento su come ricavarmi il sup di questa funzione? Solitamente faccio al derivata secondo x e trovo il valore di massimo.. ma fatta la derivata poi lo studio dei punti di massimo non è molto semplice in questo esercizio.. è l'unica strada che posso utilizzare?
Grazie
Ciao
Perfetto quindi devo fare riferimento alla forma base: $x^n$ converge se <1.. quindi nel mio caso so che converge a zero quando $4/pi arctan(x/7)<1$ posso concludere che converge a $f(x)=0$ quando $x<7$
Per la convergenza uniforme puoi darmi qualche suggerimento su come ricavarmi il sup di questa funzione? Solitamente faccio al derivata secondo x e trovo il valore di massimo.. ma fatta la derivata poi lo studio dei punti di massimo non è molto semplice in questo esercizio.. è l'unica strada che posso utilizzare?
Grazie
Ciao
Non è l'unica; puoi cercare dei punti che ti aiutino ad arrivare al risultato!
La convergenza uniforme "prevede" che, fissata una tolleranza \(\varepsilon > 0\) tu possa trovare un \(\tilde n\) tale che se \(n > \tilde n\) allora \(\max \left| f_n(x) - f(x) \right| < \varepsilon\).
Ora, tu sai che tutte le \(f_n\) sono continue, ed in più sai che tutte passano per \((7,1)\), quindi....
La convergenza uniforme "prevede" che, fissata una tolleranza \(\varepsilon > 0\) tu possa trovare un \(\tilde n\) tale che se \(n > \tilde n\) allora \(\max \left| f_n(x) - f(x) \right| < \varepsilon\).
Ora, tu sai che tutte le \(f_n\) sono continue, ed in più sai che tutte passano per \((7,1)\), quindi....
Ciao!
Grazie per la risposta ma ancora non ci sono arrivato
Io so che tutte le $f_n$ sono continue.. e che passano per $(7,1)$.. quindi potrei avere un minimo in $7$ e un massimo in $1$? Posso pensare che in quell'intervallo la funzione $f_n$ è decrescente quindi andando a $+oo$ si avvicina sempre più a $0$?
Grazie
Ciao
Grazie per la risposta ma ancora non ci sono arrivato
Io so che tutte le $f_n$ sono continue.. e che passano per $(7,1)$.. quindi potrei avere un minimo in $7$ e un massimo in $1$? Posso pensare che in quell'intervallo la funzione $f_n$ è decrescente quindi andando a $+oo$ si avvicina sempre più a $0$?
Grazie
Ciao
Mi prendi in giro??
[FLAME_MODE] Va bene che [pare] usi mac os, ma tu te ne approfitti![/FLAME_MODE]
Quando dico che le funzioni passano per (7,1) intendo dire che passano per IL [unico, uno solo] punto di ascissa 7 ed ordinata 1
E questo, unito alla definizione di continuità, ti dice che....
[FLAME_MODE] Va bene che [pare] usi mac os, ma tu te ne approfitti![/FLAME_MODE]
Quando dico che le funzioni passano per (7,1) intendo dire che passano per IL [unico, uno solo] punto di ascissa 7 ed ordinata 1
E questo, unito alla definizione di continuità, ti dice che....
Ciao!
L'ultima cosa che voglio fare è prendere in giro qualcuno.. se ti ho risposto così è perchè proprio non riesco a concludere altrimenti ti avrei già ringraziato due post prima
(comunque confermo che sono anche da mac )
Non ho capito come fai a dire che la funzione passa da (7,1).. abbiamo dimostrato prima che se $x=7$ la funzione ha come limite puntuale $f(x)=1/98$.. quindi al massimo potrebbe passare per $(7,1/98)$.
Comunque ora penso di aver capito cosa volevi dire.. la funzione è continua..
Allora posso dire sicuramente che non converge in [0,7] perchè le $f_n$ sono continue ma il loro limite puntuale non lo è. Allora controllo la convergenza uniforme in un sotto intervallo $[0,a]$ dove $0
Adesso in questo sottoinsieme torno al problema di partenza.. come determinare che converge uniformemente?
Grazie
Ciao
L'ultima cosa che voglio fare è prendere in giro qualcuno.. se ti ho risposto così è perchè proprio non riesco a concludere altrimenti ti avrei già ringraziato due post prima
(comunque confermo che sono anche da mac )Non ho capito come fai a dire che la funzione passa da (7,1).. abbiamo dimostrato prima che se $x=7$ la funzione ha come limite puntuale $f(x)=1/98$.. quindi al massimo potrebbe passare per $(7,1/98)$.
Comunque ora penso di aver capito cosa volevi dire.. la funzione è continua..
Allora posso dire sicuramente che non converge in [0,7] perchè le $f_n$ sono continue ma il loro limite puntuale non lo è. Allora controllo la convergenza uniforme in un sotto intervallo $[0,a]$ dove $0
Adesso in questo sottoinsieme torno al problema di partenza.. come determinare che converge uniformemente?
Grazie
Ciao
Sì, colpa mia che mi ero dimenticato del denominatore, comunque il succo non cambia: qualunque sia \(n\), \(f_n(7) = \frac 1 {98}\).
Ora, le \(f_n\) sono tutte continue e quindi, fissata \(n\), sai che \(\lim_{x \to 7} f_n(x) = \frac 1 {98}\), che significa che in ogni intorno di \(x = 7\) ci sono punti di \(f_n\) che stanno arbitrariamente vicini ad \(y = \frac 1 {98}\). È ora evidente che se fissi una tolleranza \(\varepsilon\) abbastanza piccola, \(f_n\) non può essere contemporaneamente vicina a \(\frac 1 {98}\) E al suo limite puntuale \(0\).
È più chiaro?
Ora, le \(f_n\) sono tutte continue e quindi, fissata \(n\), sai che \(\lim_{x \to 7} f_n(x) = \frac 1 {98}\), che significa che in ogni intorno di \(x = 7\) ci sono punti di \(f_n\) che stanno arbitrariamente vicini ad \(y = \frac 1 {98}\). È ora evidente che se fissi una tolleranza \(\varepsilon\) abbastanza piccola, \(f_n\) non può essere contemporaneamente vicina a \(\frac 1 {98}\) E al suo limite puntuale \(0\).
È più chiaro?
Ciao!
Ok ok perfetto adesso ho capito tutto.. Ora infatti sono riuscito anche a calcolare che la funzione converge in un sottoinsieme.
Quindi anche per questo tipo di funzioni periodiche lo studio della convergenza deve essere fatto allo stesso modo delle successioni "normali".
Grazie ancora per il supporto
Ciaoo
Ok ok perfetto adesso ho capito tutto.. Ora infatti sono riuscito anche a calcolare che la funzione converge in un sottoinsieme.
Quindi anche per questo tipo di funzioni periodiche lo studio della convergenza deve essere fatto allo stesso modo delle successioni "normali".
Grazie ancora per il supporto
Ciaoo
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