Successione convergente in $RR^n$ è limitata

[compa90]

Buonasera, sto provando a dimostrare la seguente proposizione
Ogni successione a volori in $RR^n$ per cui sia convergente è limitata.

Dimostrazione: (Quello che faccio è un riadattamento del caso in cui $n=1$ )

Sia $l$ $in RR^n$, si ha per ipotesi che la successione ${\mathbf{x}^n}$ converge a $\mathbf{l}$, per definizione per ogni $00$ tale che $d(\mathbf{x}^n,\mathbf{l})N$, per cui vale anche

$d(\mathbf{x}^n,\mathbf{0})\le d(\mathbf{x}^n,\mathbf{0})+d(\mathbf{x}^n,\mathbf{l})N$

posto $alpha=epsilon+d(\mathbf{x}^n,\mathbf{0})$ e $m=mbox{max}_{ i=1,...,N}{d(\mathbf{x}^i,\mathbf{0})}$.
Quindi sia $M=max{m, alpha}$, allora l'intorno $B(\mathbf{0},M)$ contiene l'insieme dei termini della successione ${\mathbf{x}^n}$, cioè è limitato.

Potrebbe andare bene ?

[Mephlip]

No, non va bene. Ci sono problemi di dipendenze: il tuo $\alpha$ dipende da $n$ e da $\epsilon$. Ne avevamo già parlato qui.

[compa90]

ciao mephlip, ho corretto. Non so se va bene ora

[Mephlip]

Non vedo particolari cambiamenti, perché non ricordo tutto quello che hai scritto prima . Che cosa hai cambiato?

Comunque, non va bene lo stesso perché rimane la dipendenza $\alpha=\alpha_{\epsilon,n}$. Quello è fondamentale per la validità della dimostrazione; non andrà bene fino a che non correggerai quella parte. Se possibile, ricopia il tuo messaggio correggendo dove serve in una nuova risposta (gli altri utenti non potranno vedere le modifiche al tuo primo messaggio, rendendo poco leggibile questo post sul forum per i futuri visitatori).

Inoltre, sto notando che da qui:

"compa90":per cui vale anche

$d(\mathbf{x}^n,\mathbf{0})\le d(\mathbf{x}^n,\mathbf{0})+d(\mathbf{x}^n,\mathbf{l})N$

deduci $d(\mathbf{x}^n,\mathbf{0})0$; tra l'altro, è vera anche per ogni $n\in\mathbb{N}$ e non solo per $n>N$. Insomma, la disuguglianza che vorresti usare è vera anche senza l'ipotesi di convergenza. Ciò rende superflua tale ipotesi, e questo già dovrebbe essere un campanello d'allarme che la dimostrazione è sbagliata.

[compa90]

ho cambiato esiste 0per ogni $ 0"Mephlip":

---

[quote="compa90"]per cui vale anche

$ d(\mathbf{x}^n,\mathbf{0})\le d(\mathbf{x}^n,\mathbf{0})+d(\mathbf{x}^n,\mathbf{l}) per ogni $ n>N $

[/quote]

corretta dovrebbe essere $ d(\mathbf{x}^n,\mathbf{0})\le d(\mathbf{l},\mathbf{0})+d(\mathbf{x}^n,\mathbf{l}) $ per ogni $ n>N $


Vuoi dire cosi?

[Mephlip]

Ok, ora ha più senso. Come prosegui poi da lì?

[compa90]

Ok poi $alpha=epsilon+ d(\mathbf{l},\mathbf{0})$, $ m=mbox{max}_{ i=1,...,N}{d(\mathbf{x}^i,\mathbf{0})} $ e $M=mbox{max}{alpha,m}$ e proseguo in modo uguale

[Mephlip]

No. Devi eliminare la dipendenza di $\alpha$ da $\epsilon$. La definizione di limitatezza di una successione $\mathbf{x}:\mathbb{N}\to\mathbb{R}^k$ richiede l'esistenza di un numero reale $M$ tale che per ogni $n\in\mathbb{N}$ sia $\norm{\mathbf{x}^n}una funzione di $\epsilon$, e tale è $M_\epsilon=\max\{\alpha_\epsilon,m\}$. Inoltre, anche l'indice $N=N_\epsilon$ per cui $n>N_\epsilon$ implica $\norm{\mathbf{x}^n}<\epsilon+d(\mathbf{l},\mathbf{0})$ varia al variare di $\epsilon$; quindi, hai che a diversi $\epsilon$ corrispondono diversi $N_\epsilon$ e dunque anche la validità dell'implicazione risente di questa dipendenza.

[compa90]

Ok, forse ci sono. (Perdonatemi se non c'è il grassetto)

Abbiamo dalla disuguaglianza triangolare che

$d(x^h,0)led(x^h,l)+d(l,0)$

in particolare la scrittura

$lim_{k to + infty} x^k=l$

vuole indicare per definizione $lim_{h to + infty} d(x^h,l)=0$, cioè che

$ (d(x^h,l))_{h in NN}$

è una successione reale infinitesima, pertanto, dal teorema sulla limitatezza delle successioni regolari in $RR$ si ha che esiste una costante positiva $M$, tale che per ogni $h in NN$ si ha $ (d(x^h,l))le M$
Dunque $d(x^h,0)leM+d(l,0)$ per ogni $h in NN$.

[Mephlip]

Non ti seguo del tutto. Vuoi dimostrare che tutte le componenti di $\mathbf{x}^n$ sono limitate?

Per correggere la dimostrazione iniziale: usa la definizione di limite $\mathbf{x}^n \to \mathbf{l}$ per $n\to+\infty$ con $\epsilon=1$ (o qualsiasi costante positiva fissata), in corrispondenza esiste $N_1 \in \mathbb{N}$ tale che per ogni $n\in\mathbb{N},[n>N_1] \implies [d(\mathbf{x}^n,\mathbf{l})<1]$. Ora concludi usando il tuo ragionamento con $M=\max\{1+d(\mathbf{l},\mathbf{0}),m\}$; nota che ora $m$ è definito per gli indici fino ad $N_1$ e che ora questo approccio funziona perché $1$ ed $m$ non dipendono da $\epsilon$ (avendo fissato $\epsilon=1$). Perciò, $M$ è un numero reale fissato. Che poi è la stessa dimostrazione che si fa nella discussione che ti avevo linkato prima.

Scrivo sotto spoiler la dimostrazione completa (ti consiglio di usare $\mathbf{x}^k$ in questi casi, come farò sotto spoiler, altrimenti si confonde la variabile della successione con la dimensione di $\mathbb{R}^n$).

Per ipotesi $\mathbf{x}^k \to \mathbf{L}$ per $k \to +\infty$, dunque esiste $K_1 \in \mathbb{N}$ tale che per ogni $k\in\mathbb{N}, [k>K_1] \implies [d(\mathbf{x}^k,\mathbf{L})<1]$. Dalla disuguaglianza triangolare, segue quindi $d(\mathbf{x}^k,\mathbf{0})<1+d(\mathbf{L},\mathbf{0})$ per ogni $k\in\mathbb{N}$ tale che $k \ge K_1+1$. L'insieme $\{d(\mathbf{x}^1,\mathbf{0}),...,d(\mathbf{x}^{K_1},\mathbf{0})\}$ è finito, dunque esiste $\max\{d(\mathbf{x}^1,\mathbf{0}),...,d(\mathbf{x}^{K_1},\mathbf{0})\}$. Posti $m:=\max\{d(\mathbf{x}^1,\mathbf{0}),...,d(\mathbf{x}^{K_1},\mathbf{0})\}$ ed $M:=\max\{1+d(\mathbf{L},\mathbf{0}),m\}$, risulta $d(\mathbf{x}^k,\mathbf{0})

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