Successione convergente in $RR^d$

[valentina921]

Buonasera a tutti,
ho una domanda semplice semplice per confermare la comprensione dell'argomento specificato nel titolo: data una successione $P^n$ nello spazio d-dimensionale, se questa successione è convergente, allora sono convergenti tutte le sue componenti? E' una condizione necessaria e sufficiente?

Grazie in anticipo come sempre

Valentina

[gugo82]

"valentina92":data una successione $P^n$ nello spazio d-dimensionale, se questa successione è convergente, allora sono convergenti tutte le sue componenti? E' una condizione necessaria e sufficiente?

Certo che lo è.

Se scegli di introdurre in \(\mathbb{R}^d\) un sistema di coordinate cartesiane, allora puoi identificare ogni punto \(P\) con una \(d\)-upla del tipo \((x_1,\ldots,x_d)\); inoltre hai sicuramente disponibile una distanza \(d(P,Q)\) che potrai scrivere:
\[
d(P,Q)=\sqrt{(x_1-y_1)^2 + \cdots +(x_d-y_d)^2}
\]
quando \(P=(x_1,\ldots x_d),\ Q=(y_1,\ldots ,y_d)\).

Ora, nota che dalla definizione di distanza hai:
\[
|x_1-y_1|,\ldots ,|x_d-y_d| \leq d(P,Q)\leq \sqrt{d}\ \max \{|x_1-y_1|,\ldots ,|x_d-y_d|\}
\]
ed usando queste disuguaglianze dovresti riuscire a dimostrare che \(P^n\to P\) se e solo se \(x_1^n\to x_1,\ldots ,x_d^n\to x_d\), ove \(P^n=(x_1^n,\ldots ,x_d^n)\).

[valentina921]

Giusto. Chiaro. Grazie mille