Successione con parte intera

[Andrea902]

Buonasera a tutti!

Dovrei determinare il massimo e il minimo limite della successione $a_n=sqrt(n+1)-[sqrtn]$, dove con $[sqrtn]$ si denota il massimo intero contenuto in $sqrtn$.

La successione in oggetto sembra avere un certo collegamento con la parte frazionaria di $sqrtn$ definita da $sqrtn-[sqrt(n)]$, tuttavia non è esattamente così. Di certo risulta $a_n=sqrt(n+1)-[sqrtn]>0$ ma come posso procedere? La mia idea era quella di trovare l'estremo superiore ed inferiore della successione ed estrarre da essa due sottosuccessioni: la prima che tendesse all'estremo inferiore e l'altra all'estremo superiore. Ma come devo comportarmi con la parte intera?

Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.

Andrea

[adaBTTLS1]

non so se ti aiuta, però io considererei i quadrati perfetti, i precedenti dei quadrati perfetti (cioè $n=k^2-1$), i numeri compresi tra due quadrati perfetti successivi.

se $n=k^2-1 vv n=(k+1)^2-1$, allora $a_n=1$,
da $k^2$ a $(k+1)^2-1$ la successione è crescente,
se consideri tutti i quadrati perfetti, la sottosuccessione infinita è decrescente: $a_((k+1)^2)
dunque il limite massimo è $1$, che è anche il massimo, il minimo non esiste ma il limite minimo dovrebbe essere $0$.

prova e facci sapere. ciao.

[Andrea902]

Anche io avevo intenzione di estrarre opportune sottosuccessioni. Ma come fai a dedurre i valori dei limiti (max e min) dal ragionamento che hai fatto? Cioè come faccio a legare $a_((k+1)^2)$ e $a_(k^2)$ con le osservazioni fatte prima sui quadrati perfetti?

[adaBTTLS1]

hai provato a scrivere i valori dei vari termini?

quando $n$ è un quadrato perfetto, $sqrt n$ è intero e dunque la sua parte intera è se stesso, cioè $[sqrt n]=sqrt n$
quando $n$ non è un quadrato perfetto, $[sqrt n]=sqrt n -1$

quando $n+1$ è un quadrato perfetto, $n$ non lo è, e $a_n=sqrt(n+1)-[sqrtn]=1$

$[sqrtn]$ non cambia finché non si arriva al successivo quadrato perfetto.

ti torna?

[Andrea902]

Quindi dovrei calcolare il limite nei due casi descritti e confrontarli. Il minore è il minimo limite e il maggiore è il massimo limite, giusto?

[adaBTTLS1]

per me, come ho interpretato l'esercizio, il massimo limite è quello della successione costante ${a_n}, n in {k^2-1 | k in NN}$,
il minimo limite è quello della successione decrescente ${a_n}, n in {h^2 | h in NN}$.

che cosa intendi tu per "massimo limite" e "minimo limite" ?

[Andrea902]

Il ragionamento che eseguo io è lo stesso di quello tuo. Estraggo le sottosuccessioni e confronto i limiti... tranne che non ho ben capito il tuo. Io al momento di calcolare i limiti ragiono così: date le sottosuccessioni da te indicate ne calcolo i limiti. Nel caso della successione costante il limite vale 1, nel caso della successione decrescente il limite vale 0. Quindi il limite massimo vale 1 ed il limite minimo vale 0... giusto?

[adaBTTLS1]

sì, se tieni conto contemporaneamente anche dell'andamento del resto della successione completa, e quindi anche di ciò che ti ho scritto nei primi due post.

[Andrea902]

Ecco. Allora forse non ho ben chiaro l'andamento del resto della successione. Le sottosuccessioni che stiamo esaminando contengono rispettivamente i quadrati e i precedenti dei quadrati... come devo completare la successione? Quest'ultimo passaggio non mi è chiaro...

[adaBTTLS1]

"adaBTTLS":
se $n=k^2-1 vv n=(k+1)^2-1$, allora $a_n=1$,
da $k^2$ a $(k+1)^2-1$ la successione è crescente,
se consideri tutti i quadrati perfetti, la sottosuccessione infinita è decrescente: $a_((k+1)^2)
dunque il limite massimo è $1$, che è anche il massimo, il minimo non esiste ma il limite minimo dovrebbe essere $0$.

il succo della questione è nel rigo che ti ho evidenziato:
tra due quadrati perfetti successivi la successione è crescente.
il termine precedente ($n=k^2-1$) vale $1$, poi ha un valore compreso tra $0$ e $1$, e cresce fino a $n=(k+1)^2-1$ in cui vale di nuovo $1$.

hai controllato direttamente trovando i termini della successione?

[Andrea902]

Sì, ho verificato con degli esempi, ma credo che dimostrarlo rigorosamente non sia altrattanto semplice. In definitiva questa successione vale 1 quando $n+1$ è un quadrato perfetto e assume valori tra 0 e 1 nel passaggio da $k^2$ a $(k+1)^2-1$. In particolare la sottosuccessione dei quadrati è decrescente. In poche parole il problema che resta è studiare rigorosamente il comportamento della funzione tra $k^2$ e $(k+1)^2-1$.
Una volta fatto ciò come dovrei concludere l'esercizio? Cioè a cosa serve conoscere il comportamento della successione tra $k^2$ e $(k+1)^2-1$?

[adaBTTLS1]

non è difficile provare che la successione è crescente tra due quadrati perfetti successivi:

"adaBTTLS":
quando $n$ è un quadrato perfetto, $sqrt n$ è intero e dunque la sua parte intera è se stesso, cioè $[sqrt n]=sqrt n$
quando $n$ non è un quadrato perfetto, $[sqrt n]=sqrt n -1$

quando $n+1$ è un quadrato perfetto, $n$ non lo è, e $a_n=sqrt(n+1)-[sqrtn]=1$

$[sqrtn]$ non cambia finché non si arriva al successivo quadrato perfetto.

se $sqrt(n+1)$ cresce e $[sqrtn]$ non cambia, la differenza cresce. o no?
però, tutto dipende da che cosa intendi per limite minimo.
il limite della successione dei "minimi" dovrebbe essere $0$, e tutti i termini sono positivi, ma questo non dice nulla sulla decrescenza di altre sottosuccessioni.

[Andrea902]

Ok. In effetti la mia insegnante ha risolto un esercizio simile distinguendo solo i casi delle due sottosuccessioni (costante e decrescente)... non ha fatto altre considerazioni... Non saprei...