Successione con parametro x

[angelad97]

$fn(x) ={(n + x^2)^2 /(n^2)}^n$

Individuare i valori del parametro x per cui risulta convergente la successione e e precisare il valore del limite (in funzione del parametro x).

io avevo pensato di sviluppare il limite della successione in primis,il problema è che una volta arrivata a $lim(1+2x^2/n)^n$ mi blocco.
Come devo impostare l'esercizio?E come faccio a verificarne la convergenza?

[Bremen000]

Prova a scrivere:

$f_n(x) = \{\frac{n+x^2}{n} \}^{2n} $ ...

[angelad97]

ci ho pensato ma poi non saprei comunque come continuare

[Bremen000]

Abbiamo:

$\lim_{n to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} (\frac{n+x^2}{n} )^{2n} = \lim_{n \to infty} (1 + \frac{x^2}{n})^{2n} = \lim_{n \to \infty} (1+ \frac{1}{\frac{n}{x^2}})^{2n} = \lim_{n \to \infty} (1+ \frac{1}{\frac{n}{x^2}})^{\frac{n}{x^2} 2x^2} = (\lim_{n \to \infty} (1+ \frac{1}{\frac{n}{x^2}})^{\frac{n}{x^2}})^{ 2x^2} \overset{\ast}{=} e^{2x^2} $

Dove nel passaggio $(\ast)$ ho usato il limite notevole $\lim_{t \to \infty} (1+\frac{1}{t})^t = e$.

[MugiwaranoLuffy]

osservate anche che in x=0 il limite e' 1