Successione con (-1)^n
Salve a tutti , devo studiare questa successione :
$ E=(n-5)/(4+(-1)^n(n)) $
Noto che per n pari, la sotto successione è monotona crescente, di conseguenza impongo $ a(2n+2)>a(2n) $
quindi ottengo :
$ (2n+2-5)/(4+2n+2)>(2n-5)/(4+2n) $
$ (2n-3)(4+2n)>(6+2n)(2n-5) $
quindi $-12 > -30 $ verificata:) , la sotto successione è monotona crescente , ma per $ n->oo ,a(2n)=1 $, questo è soltanto un sup giusto?non è un punto di massimo?
A questo punto , studio la sotto successione per n dispari, ma vedo subito, sostituendo n=1,3,5,7 che è irregolare per i primi 4 valori , e poi decrescente , di conseguenza è " definitivamente non crescente", per $ n->oo $ , a(n)=-1, ora non capisco se questo è un minimo e di conseguenza la successione di partenza ha soltanto il minimo ma non il massimo.
$ E=(n-5)/(4+(-1)^n(n)) $
Noto che per n pari, la sotto successione è monotona crescente, di conseguenza impongo $ a(2n+2)>a(2n) $
quindi ottengo :
$ (2n+2-5)/(4+2n+2)>(2n-5)/(4+2n) $
$ (2n-3)(4+2n)>(6+2n)(2n-5) $
quindi $-12 > -30 $ verificata:) , la sotto successione è monotona crescente , ma per $ n->oo ,a(2n)=1 $, questo è soltanto un sup giusto?non è un punto di massimo?
A questo punto , studio la sotto successione per n dispari, ma vedo subito, sostituendo n=1,3,5,7 che è irregolare per i primi 4 valori , e poi decrescente , di conseguenza è " definitivamente non crescente", per $ n->oo $ , a(n)=-1, ora non capisco se questo è un minimo e di conseguenza la successione di partenza ha soltanto il minimo ma non il massimo.
Risposte
Chi mi può aiutare 
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Blocco per 24h.[/xdom]
[xdom="gugo82"]Riapro[/xdom]
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Nessuno può darmi una mano?
@Salvy: Fare un disegno aiuta.
Prova a fare un grafico della successione.
Prova a fare un grafico della successione.
"arnett":
[quote="Salvy"]
Noto che per n pari, la sotto successione è monotona crescente, di conseguenza impongo $ a(2n+2)>a(2n) $
Noti o imponi? Diciamo piuttosto che ti chiedi se $ a(2n+2)\stackrel{?}{>}a(2n) $ e verifichi che la risposta è affermativa, quindi la sottosuccessione dei pari è monotona crescente. Beh per vedere se $1$ è solo sup o anche massimo devi chiederti se per qualche $n$ vale che
$ 1\stackrel{?}{=}(n-5)/(4+(-1)^n(n)) $
Risposta?
Lo stesso conto per $-1$. (Cosa vuol dire "è irregolare per i primi quattro valori?)[/quote]
Vuol dire che per i primi quattro valori la successione non assume un andamento" regolare " ma cresce e decresce
"arnett":
[quote="Salvy"]
Noto che per n pari, la sotto successione è monotona crescente, di conseguenza impongo $ a(2n+2)>a(2n) $
Noti o imponi? Diciamo piuttosto che ti chiedi se $ a(2n+2)\stackrel{?}{>}a(2n) $ e verifichi che la risposta è affermativa, quindi la sottosuccessione dei pari è monotona crescente. Beh per vedere se $1$ è solo sup o anche massimo devi chiederti se per qualche $n$ vale che
$ 1\stackrel{?}{=}(n-5)/(4+(-1)^n(n)) $
Risposta?
Lo stesso conto per $-1$. (Cosa vuol dire "è irregolare per i primi quattro valori?)[/quote]
Solo per n-->oo la successione assume il valore 1, quindi 1 è il sup? Mentre - 1 è il minimo perché lo assume per un" dato n", ci sono?
Per nessuno, quindi mi sa che anche quello è un inf! Si avvicina soltanto a - 1 ma non lo assume mai
"arnett":
[quote="Salvy"]
Noto che per n pari, la sotto successione è monotona crescente, di conseguenza impongo $ a(2n+2)>a(2n) $
Noti o imponi? Diciamo piuttosto che ti chiedi se $ a(2n+2)\stackrel{?}{>}a(2n) $ e verifichi che la risposta è affermativa, quindi la sottosuccessione dei pari è monotona crescente. Beh per vedere se $1$ è solo sup o anche massimo devi chiederti se per qualche $n$ vale che
$ 1\stackrel{?}{=}(n-5)/(4+(-1)^n(n)) $
Risposta?
Lo stesso conto per $-1$. (Cosa vuol dire "è irregolare per i primi quattro valori?)[/quote]
Prima impongo e poi mi rendo conto, che è giusto quello che ho imposto
Si cosa?
Eh invece no, ho il minimo ma non il massimo!
Ha ragione Salvy.
Il problema qui è che volete svolgere l'esercizio "al buio" come delle persone che giocano a moscacieca, i.e. che state complicandovi le cose perchè vi ostinate a non fare un disegno (o a dare una qualsiasi altra rappresentazione grafica, tabulare, etc...) della successione.
Se vi levaste la benda con cui avete coperto gli occhi, vi accorgereste che è semplice fornire un grafico della successione.
Facendo il grafico si vede che la successione $(a_n)$ è dotata di minimo, assunto in $n=3$, e non è dotata di massimo pur avendo \(\sup a_n = 1\).
Dunque, basta dimostrare che $a_3 <= a_n < 1$ per ogni $n$ e portare a casa il risultato.
Poi, a voler essere formali, non ci vuole niente a dimostrare che:
\[
\begin{split}
\sup a_n &= \max \Big\{ \sup a_{2h}, \sup a_{2h+1}\Big\} \\
\inf a_n &= \min \Big\{ \inf a_{2h}, \inf a_{2h+1}\Big\}
\end{split}
\]
e che gli estremi della successione sono massimi o minimi se tali sono per l'estratta da cui essi provengono.
Il problema qui è che volete svolgere l'esercizio "al buio" come delle persone che giocano a moscacieca, i.e. che state complicandovi le cose perchè vi ostinate a non fare un disegno (o a dare una qualsiasi altra rappresentazione grafica, tabulare, etc...) della successione.
Se vi levaste la benda con cui avete coperto gli occhi, vi accorgereste che è semplice fornire un grafico della successione.
Facendo il grafico si vede che la successione $(a_n)$ è dotata di minimo, assunto in $n=3$, e non è dotata di massimo pur avendo \(\sup a_n = 1\).
Dunque, basta dimostrare che $a_3 <= a_n < 1$ per ogni $n$ e portare a casa il risultato.
Poi, a voler essere formali, non ci vuole niente a dimostrare che:
\[
\begin{split}
\sup a_n &= \max \Big\{ \sup a_{2h}, \sup a_{2h+1}\Big\} \\
\inf a_n &= \min \Big\{ \inf a_{2h}, \inf a_{2h+1}\Big\}
\end{split}
\]
e che gli estremi della successione sono massimi o minimi se tali sono per l'estratta da cui essi provengono.
Ma dire che per gli n dispari la successione è irregolare è completamente sbagliato?
Sì.
Irregolare è un termine definito e non ha il significato che gli vuoi attribuire.
Irregolare è un termine definito e non ha il significato che gli vuoi attribuire.
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