Successione che tende a infinito

[Quinzio]

Devi stabilire se è vero che:
$\lim_{n \to \+infty} {logn / \sqrt n} = \+infty$

Io ragionato così:
se $a_kn$ allora la successione non può tendere ad infinito perchè monotona discendente
Scelgo $k = 2n$

$\frac{log (2n)}{\sqrt{2n}} - \frac{log (n)}{\sqrt{n}} < 0 $

$\frac{log\ 2 +log\ n - \sqrt2\ log\ n }{\sqrt{2n}} < 0 $

$\frac{log\ 2 -(\sqrt2-1)log\ n }{\sqrt{2n}} < 0 $

Il denominatore è sempre $>0$
Il numeratore diventa presto negativo (bisognerebbe dimostrarlo ma mi sembra abbastanza lampante.

Mi sembra dimostrato che la successione non può tendere a $\+infty$.
Vi sembra corretto come procedimento ?

[marco.bre]

Sul fatto che una successione monotona decrescente non possa tendere a infinito non ho nulla da dire; piuttosto il fatto che nel dimostrarlo poni $k=2n$ non mi convince del tutto in quanto dovresti considerare due indici consecutivi altrimenti, a rigor di logica, potresti avere che tra $a_na_{n+2}$ ovvero che la successione non è decrescente.

Ad occhio questo limite direi che vale $0$ mediante la "scala di confronto ad infinito" poichè $log[n]$ è un infinito di ordine inferiore rispetto a $sqrt n$ (ma questo l'avrai sicuramente pensato pure tu) e quindi lo darei per buono avendo una proposizione che dice che $log_a[n] text{<<}x^alpha$ $(a>1,alpha>0)$ per $x rightarrow infty$.

Dimostrazioni di questa proposizione ne ho viste un paio per il caso dei limiti di successioni e dei limiti di funzioni. Per il primo prendo la dimostrazione del Pagani-Salsa per il teorema sulla gerarchia degli infiniti (pag. 105 se ce l'hai).

Sia $x in bbbR,x>0$ e sia $k$ la parte intera di $x$. Si ha $2^x>=2^k=(1+1)^k>=1+k>x$ dove la prima segue dalla monotonia dell'esponenziale e la seconda dallo sviluppo del binomio di Newton; applicando il logaritmo in base $a$ per ogni $x>0$ si ha $log_a[x]
Penso sia quello che cercavi.

[Quinzio]

Grazie per la risposta, Marco. In effetti era proprio quel $k = 2n$ che mi lasciava l'amaro in bocca.
Se non altro perché tendendo $n$ all'infinito, tra $k$ ed $n$ tende ad esserci una differenza infinita.
Se tra $k$ ed $n$ ci sono parecchi termini, ma comunque in numero finito, credo che sia accettabile la mia dimostrazione, ma non quando tra i due termini confrontati vi sia una infinità di termini. Non c'è visibilità su quello che succede "la in fondo" all'infinito.
Mi ci vorrà più di una lettura per digerire le tue considerazioni (per mie mancanze, sia chiaro), ma direi che danno una spiegazione più che esauriente. Intanto grazie ancora.

[marco.bre]

"Quinzio":Se tra $k$ ed $n$ ci sono parecchi termini, ma comunque in numero finito, credo che sia accettabile la mia dimostrazione, ma non quando tra i due termini confrontati vi sia una infinità di termini. Non c'è visibilità su quello che succede "la in fondo" all'infinito.

Non penso sai... perché nel nostro caso ci sono comunque un numero finito di termini nell'intervallo, infatti visto che si tratta di una successione ha come dominio $bbbN$ e quindi tra $a_n$ e $a_{2n}$ ci sono $n$ termini, ma comunque la successione potrebbe essere crescente tra $n$ e $2n-1$ e decrescente tra $2n-1$ e $2n$ valendo cioè la condizione $a_n>a_2n$ (per capirci, $a_{2n-1}$ è un massimo per $a_n$ tra $n$ e $2n$). Per verificare se una successione è decrescente devi provare che $forall n in bbbN a_n>a_{n+1}$ o almeno credo! vediamo se qualche mod interviene per confermare o smentire!

Comunque sia cerca su un qualsiasi libro di analisi I e troverai una proposizione o un teorema che definisce una scala di confronto a infinito e a zero per le successioni (o per le funzioni)... per il resto, è giusto condividere una risposta se la si conosce primo perché ci piace ragionare di matematica e secondo perché quando ho difficoltà trovo sempre qualcuno che mi aiuta!

[dissonance]

Il ragionamento proposto da Quinzio va bene. SIa infatti \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) la successione in questione. Affermiamo che \(a_n\) non può divergere positivamente. Per mostrare questo supponiamo per assurdo che sia \( a_n \to +\infty\): ma allora ogni sottosuccessione \(a_{k_n}\) deve verificare la stessa condizione e in particolare deve essere \(a_{2^n}\to \infty\). Tuttavia il conto fatto da Quinzio mostra che a partire da un certo indice \(n\) si ha \(a_{2^{n+1}}

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[marco.bre]

Ok perfetto, ma volevo chiederti dissonance per quanto riguarda la dimostrazione della decrescenza della successione è giusto quanto ho detto?

[dissonance]

Si, è chiaro che una successione può verificare \(a_{2^{n+1}}
\[(a_1, a_2, a_3, \ldots)=(0, 1/2, 0, 1/4, 0,0,1/8,\ldots), \]

ovvero

\[a_n=\begin{cases}\frac{1}{2^k} & n=2^k \\ 0 & \text{altrimenti}\end{cases}\]

ha la proprietà richiesta.

[marco.bre]

Ok chiaro... comunque molto elegante la dimostrazione per assurdo con le sottosuccessioni, vedrò di ricordarmene!