Succesione
ciao ragazzi..avrei bisogno di una mano sulle successioni..non riesco a trovare esercizi simili e non ho capito come procedere..l'esercizio dice:
studiare la seguente successione e determinare estremo superiore ed inferiore (eventualmente massimo e minimo)
$ \{ 5^((-1^n)*n/(n+1)), n \in NN \} $
potreste darmi una mano?
studiare la seguente successione e determinare estremo superiore ed inferiore (eventualmente massimo e minimo)
$ \{ 5^((-1^n)*n/(n+1)), n \in NN \} $
potreste darmi una mano?
Risposte
Sai la definizione di estremo superiore o inferiore?
Non c'è una regola generale, io ti dico come lo faccio io, la catena di ragionamenti che faccio ancora prima di scrivere qualcosa.
Bisogna "farsi un'idea" di cosa fanno i singoli "pezzi" dell'espressione e cercare di mettere insieme il tutto.
Vedo che c'è $n/(n+1)$, è una successione crescente che parte da 0 tende a 1 come sup.
Bene poi c'è il +1, -1, +1, -1, quindi provo a pensarla come se fossero due successioni separate. Di sicuro all'infinito si possono considerare separate, all'inizio vediamo dopo.
Quindi prendo la successione degli esponenti positivi... da 0 a 1, quindi $5^0 = 1$ e $5^1 = 5$. quindi un possibile sup è 5.
Gli esponenti negativi vanno da 0 a -1, quindi $5^0=1$ e $^(-1)=1/5$.
Quindi un possibile inf è $1/5$.
Adesso un controllo sui primi termini per vedere cosa fanno:
$5^0=1$
$5^(-1/2)$ boh... radice di 5, un po' più di 2 quindi il termine è 1/2 chè dentro gli estremi trovati prima.
$5^(2/3)= ???$ di sicuro è minore di $5^1$.
Ho già visto bene o male cosa fanno... i termini positivi e negativi partono da 1 (quello negativo no, ma è lo stesso) e tendono a 5 e 1/5, come sup e inf.
Il massimo e il minimo non esistono in quanto successioni strett. monotone.
Ecco, così hai le risposte corrette, poi di sicuro non è una risoluzione formale.
Bisogna "farsi un'idea" di cosa fanno i singoli "pezzi" dell'espressione e cercare di mettere insieme il tutto.
Vedo che c'è $n/(n+1)$, è una successione crescente che parte da 0 tende a 1 come sup.
Bene poi c'è il +1, -1, +1, -1, quindi provo a pensarla come se fossero due successioni separate. Di sicuro all'infinito si possono considerare separate, all'inizio vediamo dopo.
Quindi prendo la successione degli esponenti positivi... da 0 a 1, quindi $5^0 = 1$ e $5^1 = 5$. quindi un possibile sup è 5.
Gli esponenti negativi vanno da 0 a -1, quindi $5^0=1$ e $^(-1)=1/5$.
Quindi un possibile inf è $1/5$.
Adesso un controllo sui primi termini per vedere cosa fanno:
$5^0=1$
$5^(-1/2)$ boh... radice di 5, un po' più di 2 quindi il termine è 1/2 chè dentro gli estremi trovati prima.
$5^(2/3)= ???$ di sicuro è minore di $5^1$.
Ho già visto bene o male cosa fanno... i termini positivi e negativi partono da 1 (quello negativo no, ma è lo stesso) e tendono a 5 e 1/5, come sup e inf.
Il massimo e il minimo non esistono in quanto successioni strett. monotone.
Ecco, così hai le risposte corrette, poi di sicuro non è una risoluzione formale.
"Maci86":
Sai la definizione di estremo superiore o inferiore?
se ho un insieme A ad esempio l'estremo sup è il + piccolo dei maggioranti di A , quello inferiore il più grande dei minoranti..ma l'esercizio non l'ho capito..non so come procedere..come dovrei iniziare?ho provato per n=0,n=1 ecc..ma poi mi blocco..per la convergenza dovrei fare il limite?e mi risulta divergente a infinito..
"Quinzio":
Non c'è una regola generale, io ti dico come lo faccio io, la catena di ragionamenti che faccio ancora prima di scrivere qualcosa.
Bisogna "farsi un'idea" di cosa fanno i singoli "pezzi" dell'espressione e cercare di mettere insieme il tutto.
Vedo che c'è $n/(n+1)$, è una successione crescente che parte da 0 tende a 1 come sup.
Bene poi c'è il +1, -1, +1, -1, quindi provo a pensarla come se fossero due successioni separate. Di sicuro all'infinito si possono considerare separate, all'inizio vediamo dopo.
Quindi prendo la successione degli esponenti positivi... da 0 a 1, quindi $5^0 = 1$ e $5^1 = 5$. quindi un possibile sup è 5.
Gli esponenti negativi vanno da 0 a -1, quindi $5^0=1$ e $^(-1)=1/5$.
Quindi un possibile inf è $1/5$.
Adesso un controllo sui primi termini per vedere cosa fanno:
$5^0=1$
$5^(-1/2)$ boh... radice di 5, un po' più di 2 quindi il termine è 1/2 chè dentro gli estremi trovati prima.
$5^(2/3)= ???$ di sicuro è minore di $5^1$.
Ho già visto bene o male cosa fanno... i termini positivi e negativi partono da 1 (quello negativo no, ma è lo stesso) e tendono a 5 e 1/5, come sup e inf.
Il massimo e il minimo non esistono in quanto successioni strett. monotone.
Ecco, così hai le risposte corrette, poi di sicuro non è una risoluzione formale.
ti ringrazio per la risposta..ma sicuro che posso studiare gli esponenti separatamente?
Quella non è una buona definizione di limite superiore/inferiore da un punto di vista operativo..
Devi verificare questi due fatti:
$forall epsilon >0 exists bar n in NN \text{ t.c. } forall n > bar n:$
$a_n
$a_n >L - epsilon$
Ovviamente inverti le cose per il limite inferiore
Devi verificare questi due fatti:
$forall epsilon >0 exists bar n in NN \text{ t.c. } forall n > bar n:$
$a_n
$a_n >L - epsilon$
Ovviamente inverti le cose per il limite inferiore
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