Succ. di funzioni: convergenza uniforme
Ciao a tutti, vorrei togliermi velocemente un dubbio.
http://www.mat.uniroma1.it/people/finzi ... lesuno.pdf
Facevo l'esercizio 4.
$f_n(x)={(0, -oo
$f_n(x)={(0, x<0), (1, x=0), (2, x>0):}$.
e non c'è bisogno che verifichiate, è ok.
Il dubbio nasce quando lui mi dice
Io non mi ritrovo.
Prendo l'intervallo $(0,1/n]$ (non contenente lo zero) e ho
$"sup"{|f(x)-f_n(x)|}_(x\in(0,1/n])="sup"{|2-nx-1|}_(x\in(0,1/n])="sup"{|1-nx|}_(x\in(0,1/n])=1
Lo stesso per l'intervallo
$[-1/n,0)$
Errori miei o disattenzione del correttore?
A presto, buona giornata.
http://www.mat.uniroma1.it/people/finzi ... lesuno.pdf
Facevo l'esercizio 4.
$f_n(x)={(0, -oo
$f_n(x)={(0, x<0), (1, x=0), (2, x>0):}$.
e non c'è bisogno che verifichiate, è ok.
Il dubbio nasce quando lui mi dice
Si vede invece chiaramente che in ogni insieme non contenente l'origine la convergenza è uniforme..
Io non mi ritrovo.
Prendo l'intervallo $(0,1/n]$ (non contenente lo zero) e ho
$"sup"{|f(x)-f_n(x)|}_(x\in(0,1/n])="sup"{|2-nx-1|}_(x\in(0,1/n])="sup"{|1-nx|}_(x\in(0,1/n])=1
Lo stesso per l'intervallo
$[-1/n,0)$
Errori miei o disattenzione del correttore?
A presto, buona giornata.
Risposte
giusto te,
in generale, per essere sicuro puoi pensare così: se hai la convergenza uniforme in $A$ e la convergenza uniforme in $B$ (sottoinsiemi di uno spazio metrico $(X,d)$), allora converge uniformente in $AuuB$.
infatti avrai che $AAepsilon>0,EEdelta_A$: $AAx\inA$ , $AAn>delta_A=>d(f_n(x),f(x))0,EEdelta_B$, $AAx\in B$,$AAn>delta_B=> d{f_n(x),f(x)}
Nel tuo caso se per assurdo converge uniformente in $A=(0,m]$ (dove $m=m(n)=1/n$ per come hai scritto te), allora essendo che in $B={0}$ la convergenza è uniforme, lo sarà in $[0,m]$ dove però la funzione risulta discontinua. Assurdo, essendo che la tua successione di funzioni è continua. Quindi in $A$ non può convergere uniformemente.
Prova a studiare la convergenza negli insiemi del tipo, così a occhio $[nu,m]$ con $nu>0$ (e i rispettivi simmetrici).
in generale, per essere sicuro puoi pensare così: se hai la convergenza uniforme in $A$ e la convergenza uniforme in $B$ (sottoinsiemi di uno spazio metrico $(X,d)$), allora converge uniformente in $AuuB$.
infatti avrai che $AAepsilon>0,EEdelta_A$: $AAx\inA$ , $AAn>delta_A=>d(f_n(x),f(x))
Nel tuo caso se per assurdo converge uniformente in $A=(0,m]$ (dove $m=m(n)=1/n$ per come hai scritto te), allora essendo che in $B={0}$ la convergenza è uniforme, lo sarà in $[0,m]$ dove però la funzione risulta discontinua. Assurdo, essendo che la tua successione di funzioni è continua. Quindi in $A$ non può convergere uniformemente.
Prova a studiare la convergenza negli insiemi del tipo, così a occhio $[nu,m]$ con $nu>0$ (e i rispettivi simmetrici).
Ciao fu^2, grazie per la risposta, è chiara.
Dunque vediamo i vari casi.
Fissato $n$, prendiamo il caso in cui l'intervallo $[v,m]$ si tale che $0
$"sup"{|f(x)-f_n(x)|}_(x\in[v,m])="sup"{|2-nx-1|}_(x\in[v,m])="sup"{|1-nx|}_(x\in[v,m])=1-nv$ quindi la succ. non converge in maniera uniforme.
Se invece l'intervallo è tale che $1/n
Se invece $[v,m]$ è un pezzo a destra di $1/n$ e un pezzo a sinistra, non converge uniformemente perché per il sup entrano in gioco i valori di $x$ a sinistra di $1/n$, quindi verrebbe comunque $1-nv$
Che dite, può andare?
"fu^2":
Prova a studiare la convergenza negli insiemi del tipo, così a occhio $[nu,m]$ con $nu>0$ (e i rispettivi simmetrici).
Dunque vediamo i vari casi.
Fissato $n$, prendiamo il caso in cui l'intervallo $[v,m]$ si tale che $0
$"sup"{|f(x)-f_n(x)|}_(x\in[v,m])="sup"{|2-nx-1|}_(x\in[v,m])="sup"{|1-nx|}_(x\in[v,m])=1-nv$ quindi la succ. non converge in maniera uniforme.
Se invece l'intervallo è tale che $1/n
Se invece $[v,m]$ è un pezzo a destra di $1/n$ e un pezzo a sinistra, non converge uniformemente perché per il sup entrano in gioco i valori di $x$ a sinistra di $1/n$, quindi verrebbe comunque $1-nv$
Che dite, può andare?
"Steven":
Il dubbio nasce quando lui mi dice
Si vede invece chiaramente che in ogni insieme non contenente l'origine la convergenza è uniforme..
Io non mi ritrovo.
Prendo l'intervallo $(0,1/n]$ (non contenente lo zero) e ho
$"sup"{|f(x)-f_n(x)|}_(x\in(0,1/n])="sup"{|2-nx-1|}_(x\in(0,1/n])="sup"{|1-nx|}_(x\in(0,1/n])=1
Lo stesso per l'intervallo
$[-1/n,0)$
Errori miei o disattenzione del correttore?
disattenzione dell'autore (correttore? dubito che ci sia un "correttore di bozze" o che a lui si possa imputare questo errore)
Ma perché vuoi "vivere pericolosamente" mettendoti su quell'intervallo, visto che la lettera "n" dell'alfabeto è già usata come "variabile muta"? Nota che la usi in entrambi i sensi nei tuoi conti (così mi pare). Mica vorrai lavorare su un intervallo infinitesimo, no, vero?
Tanto va bene anche $(0,1]$ come esempio.
esattamente, però se lasci correre gli $n$ fissato $nu$ esiste $n_0$ tale che, per ogni $n>n_0$ avrai che $nu>1/n$, cioè $[nu,m]sub(1/n,+oo)$. Quindi su tutte le semirette chiuse hai quello che volevi.
Nota che se prendi intervalli che contengono l'origine sai già che non può essere uniforme, essendo che la tua successione è di funzioni continue mentre la funzione limite non lo è. Se vuoi usare la definizione è comunque ok !
Nota che se prendi intervalli che contengono l'origine sai già che non può essere uniforme, essendo che la tua successione è di funzioni continue mentre la funzione limite non lo è. Se vuoi usare la definizione è comunque ok
!
"Fioravante Patrone":
Ma perché vuoi "vivere pericolosamente" mettendoti su quell'intervallo, visto che la lettera "n" dell'alfabeto è già usata come "variabile muta"? Nota che la usi in entrambi i sensi nei tuoi conti (così mi pare). Mica vorrai lavorare su un intervallo infinitesimo, no, vero?
Tanto va bene anche $(0,1]$ come esempio.
Allora mi sa che ho fatto un errore concettuale (è un argomento nuovo per me)
Avrei dovuto dire: FISSATO qualsiasi $n_0$, indipendentemente da esso, io faccio variare $x$ dentro $(0, 1/n_0]$ e prendo quello che mi massimizza la nota differenza in valore assoluto.
Ben sapendo di dover ricordare che
$f(x)=2$ perché siamo sempre nei positivi e che
$F_(n_0)=n_0x+1$.
E' corretto così?
"fu^2":
esattamente, però se lasci correre gli $n$ fissato $nu$ esiste $n_0$ tale che, per ogni $n>n_0$ avrai che $nu>1/n$, cioè $[nu,m]sub(1/n,+oo)$. Quindi su tutte le semirette chiuse hai quello che volevi.
Giusto fu^2, questa conclusione non l'avevo tratta.
Vi ringrazio.
A presto!
"Steven":
[quote="Fioravante Patrone"]
Ma perché vuoi "vivere pericolosamente" mettendoti su quell'intervallo, visto che la lettera "n" dell'alfabeto è già usata come "variabile muta"? Nota che la usi in entrambi i sensi nei tuoi conti (così mi pare). Mica vorrai lavorare su un intervallo infinitesimo, no, vero?
Tanto va bene anche $(0,1]$ come esempio.
Allora mi sa che ho fatto un errore concettuale (è un argomento nuovo per me)
Avrei dovuto dire: FISSATO qualsiasi $n_0$, indipendentemente da esso, io faccio variare $x$ dentro $(0, 1/n_0]$ e prendo quello che mi massimizza la nota differenza in valore assoluto.
Ben sapendo di dover ricordare che
$f(x)=2$ perché siamo sempre nei positivi e che
$F_(n_0)=n_0x+1$.
E' corretto così?[/quote]
NO.
$f_(n)=nx+1$
Per ogni $n$ ti calcoli il "sup" (al variare di $x$ in $(0, 1/n_0]$) e poi fai tendere $n$ all'infinito.
Il discorso generale è questo.
Hai una successione di funzioni $f_n : A \to RR$.
Hai un sottoinsieme $B$ di $A$ ("fissato", ovvero che non dipende da $n$)
Vuoi sapere se la successione $f_n$ converge uniformemente su $B$.
Quello che stavi facendo (subito non me ne ero accorto, infatti ho modificato la prima risposta che avevo dato, aggiungendo quei dettagli che citi) corrisponde a questo:
Hai una successione di funzioni $f_n : A \to RR$.
Hai un successione di sottoinsiemi $B_n$ di $A$
Vuoi sapere se la successione $f_n$ converge uniformemente SU QUALE INSIEME?. Boh...
PS:
Ovvio che i matematici fanno anche queste cose (cioè considerano situazioni in cui $f_n \to f$ e $B_n \to B$, è stato il mio "mestiere" per un po' di anni...).
Ma in questi casi le tipologie di convergenze sono diverse, la convergenza uniforme si presta male a fare queste cose.
"Fioravante Patrone":
NO.
$f_(n)=nx+1$
Per ogni $n$ ti calcoli il "sup" (al variare di $x$ in $(0, 1/n_0]$) e poi fai tendere $n$ all'infinito.
Prendimi sulla parola, ma volevo dire proprio questo, nonostante abbia detto che devo prendere quella $x$ tale che mi massimizzi il coso.
Anche perché può pure non esistere, nel caso in cui il sup non è max perché questi non esiste.
Quindi
$"sup"{|f_n(x)-f(x)|}\quad x\in(0,1/n_0]$
Ora, $f(x)=2$ sicuro.
Inizialmente mi ero posto la questione di dover identificare bene anche $f_n(x)$, cioè se vale 2 o $nx+1$
Poi però ho pensato che non serve nemmeno fare i due casi, $n>n_0$ e $n
$|1-nx|$
e andando a prendere gli x dentro quell'intorno, e ancor più vicino a zero, si vede che il sup è $1$.
Aspetto eventuali rimbrotti.
Ciao!
"Steven":
Prendimi sulla parola, ma volevo dire proprio questo, nonostante abbia detto che devo prendere quella $x$ tale che mi massimizzi il coso.
Anche perché può pure non esistere, nel caso in cui il sup non è max perché questi non esiste.
Ovvostroddio!
E' la tipica commedia degli equivoci.
Non mi ero neanche accorto che parlavi di "massimizzare". Certo, si prende il "sup" prché il max magari non c'è (e non c'interessa se c'è o non c'è. Se c'è potrà essere utile magari per i calcoli, ma basta là).
No, quello che volevo mettere in evidenza era il fatto che "devi" usare due lettere diverse:
- una per identificare l'insieme sul quale vuoi vedere se c'è convergenza uniforme
- l'altra lettera per identificare la "generica" funzione della tua successione
Esempio:
- $(0, 1/n_0]$
- $f_n$
Non ho alcun rimbrotto da fare.
"Fioravante Patrone":
No, quello che volevo mettere in evidenza era il fatto che "devi" usare due lettere diverse:
- una per identificare l'insieme sul quale vuoi vedere se c'è convergenza uniforme
- l'altra lettera per identificare la "generica" funzione della tua successione
Esempio:
- $(0, 1/n_0]$
- $f_n$
Non ho alcun rimbrotto da fare.
Perfetto, chiarito tutto, per ora non ho altro da chiedere.
Grazie per la disponibilità, buona serata.
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