Su una proprietà di una misura positiva finitamente additiva
Let \(X\) be a countably infinite set, and let \(\mu : \mathcal{P}(X) \to [0,1]\) be a positive finitely additive measure, with \(\mu(X)=1\). Prove that the following are equivalent:
(i) \(\sum_{x \in X} \mu(\{x \}) = 1\);
(ii) For every \(A \subseteq X\) we have \( \mu(A) = \sum_{x \in A} \mu(\{x\})\).
E' da un po' che sbatto la testa su (i) \(\Longrightarrow\) (ii), ma non sono riuscito a cavarne nulla. Qualche suggerimento?
Ringrazio.
Risposte
Ciao Delirium, devo dire che quando ieri ho letto il problema mi sembrava diretto, poi invece mi ha dato un pò da riflettere ed ancora non mi sono fatto una idea ben chiara del tutto.
Per la dimostrazione, mi sono fatto due conti a mente e pare sia arrivato a qualcosa partendo da questo:
supponi per assurdo che $ exists A sube X " tale che " mu(A)< sum_{x in A} mu({x})$...
Vedi se ne cavi qualche cosa.
Sarebbe anche interessante esibire un esempio di una misura che non rispecchi le condizioni date, ma non deve essere semplicissimo (ci devo ancora un pò riflettere anche se ho ancora dei dubbi su quello che dice il teorema...sarei interessato avedere come la pensi te ed anche altri...)
Ciao
Per la dimostrazione, mi sono fatto due conti a mente e pare sia arrivato a qualcosa partendo da questo:
supponi per assurdo che $ exists A sube X " tale che " mu(A)< sum_{x in A} mu({x})$...
Vedi se ne cavi qualche cosa.
Sarebbe anche interessante esibire un esempio di una misura che non rispecchi le condizioni date, ma non deve essere semplicissimo (ci devo ancora un pò riflettere anche se ho ancora dei dubbi su quello che dice il teorema...sarei interessato avedere come la pensi te ed anche altri...)
Ciao
La butto lì, vedi un po' se ti torna.
Vogliamo dimostrare (i) \(\Longrightarrow\) (ii).
Osserviamo intanto che, se \(A = \{x_1, x_2, \ldots\}\subset X\), e posto \(A_n = \{x_1, \ldots, x_n\}\), essendo \(\mu(A) \geq \mu(A_n)\) per ogni \(n\) si ottiene
\[
(*) \qquad \mu(A) \geq \lim_n \mu(A_n) = \lim_n \sum_{j=1}^n \mu(\{x_j\}) = \sum_{x\in A} \mu(\{x\}).
\]
Usando (i), la finita additività e (*) abbiamo dunque
\[
1 = \mu(X) = \mu(X\cap A) + \mu(A) \geq
\sum_{x\in X\cap A} \mu(\{x\}) + \sum_{x\in A} \mu(\{x\})
= \sum_{x\in X} \mu(\{x\}) = 1.
\]
Da qui e (*) si può dunque concludere.
Vogliamo dimostrare (i) \(\Longrightarrow\) (ii).
Osserviamo intanto che, se \(A = \{x_1, x_2, \ldots\}\subset X\), e posto \(A_n = \{x_1, \ldots, x_n\}\), essendo \(\mu(A) \geq \mu(A_n)\) per ogni \(n\) si ottiene
\[
(*) \qquad \mu(A) \geq \lim_n \mu(A_n) = \lim_n \sum_{j=1}^n \mu(\{x_j\}) = \sum_{x\in A} \mu(\{x\}).
\]
Usando (i), la finita additività e (*) abbiamo dunque
\[
1 = \mu(X) = \mu(X\cap A) + \mu(A) \geq
\sum_{x\in X\cap A} \mu(\{x\}) + \sum_{x\in A} \mu(\{x\})
= \sum_{x\in X} \mu(\{x\}) = 1.
\]
Da qui e (*) si può dunque concludere.
@rigel sostanzialmente abbiamo avuto la stessa idea, solo che io la prendevo per l'assurdo.
Infatti in un ragionamento uguale alla tua (*) ottenevo che $mu(A) < sum_{ x in A} mu({x})$ non è mai verificato;
Se invece $mu(A) > sum_{ x in A} mu({x})$ allora per $A^c$ vale $mu(A^c)< sum_{ x in A^c}mu({x})$.
Quello che mi rimaneva strano era che valesse, in generale, $mu(A) >= sum_{ x in A} mu({x})$ (e che sembra essere opposto alla subadditività) ma penso che sia normale visto il fatto che ${{x}, x in A}$ sono a due a due disgiunti.
Mi rimane ancora il dubbio su un controesempio dell'ipotesi del teorema. Ne avete uno? In particolare vedo difficile provare quando la misura è definito sul power set dell'insieme.
Infatti in un ragionamento uguale alla tua (*) ottenevo che $mu(A) < sum_{ x in A} mu({x})$ non è mai verificato;
Se invece $mu(A) > sum_{ x in A} mu({x})$ allora per $A^c$ vale $mu(A^c)< sum_{ x in A^c}mu({x})$.
Quello che mi rimaneva strano era che valesse, in generale, $mu(A) >= sum_{ x in A} mu({x})$ (e che sembra essere opposto alla subadditività) ma penso che sia normale visto il fatto che ${{x}, x in A}$ sono a due a due disgiunti.
Mi rimane ancora il dubbio su un controesempio dell'ipotesi del teorema. Ne avete uno? In particolare vedo difficile provare quando la misura è definito sul power set dell'insieme.
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