Studio teorico di funzioni e successioni
Salve ragazzi, in questo esercizio bisogna specificare se le definizioni sono vere o false, giustificando la risposta.
1)Sia $f(x):RR->RR$ derivabile due volte. Dire:
1a)Se $lim x->oo f'(x)=0$ allora f(x) ha asintoto orizzontale. Qui ho scritto VERA, ma l'ho dimostrato con un esempio. Non mi vengono in mente altre maniere, forse per il fatto che affinché $lim x->oo f'(x)=0$ è che ad esempio al denominatore, nel caso di una funzione fratta, si abbia un infinito di ordine superiore, e allora in $f(x)$ al numeratore e al denominatore gli infiniti siano dello stesso ordine, ma come?
1b)Se $f'(x)>0$ allora $f(x)$ è strettamente crescente. Qui ho scritto FALSA perché in realtà dovrebbe essere $f'(x)>=0$. Giusto?
1c)Se f(x) strettamente convessa in $RR$ allora $f''(x)>0 $ per ogni x di $RR$. Qui ho messo VERA per il criterio di convessità, cioè per il fatto che le definizioni di f(x) convessa si equivale con f(x) strettamente crescente, quest'ultima si equivale con f(x) strettamente convessa, e per transitività le prime due si equivalgono.
2)Siano $a_n$ e $b_n$ due successioni.
2a)Se $a_n$ diverge negativamente sarà limitata superiormente. Qui ho scritto FALSA riportando il controesempio della successione $-n$ e studiandone i limiti per $n->pmoo$
2b)Se $a_n<=b_n<0$ e $lim n->oo a_n=ainRR$ allora anche il limite di $b_n$ converge. Queste dovrebbe essere VERA, ma non capisco perché? C'entra qualcosa il teorema della permanenza del segno o quello dei carabinieri?
2c)Se $lim n->oo a_n=0$ e $lim n->oo b_n=-oo$ allora $lim n->oo (b_n)/(a_n)=-oo$. Questa è VERA, o no?
3)Siano f e g due funzioni reali di variabile reali.
3a)Se $lim x->+oo f(x)$ non esiste allora anche $lim x->+oo f(x)*g(x) $ non esiste. Qui ho risposto VERA, anche se non ho dato una spiegazione.
3b)Se $lim x->0 f(x)=0$ allora anche $lim x->o f(x)/g(x) =0$. Qui ho scritto FALSA in quanto dipende dall'infinitesimo di ordine superiore o inferiore.
3c)Se $lim x->x_o |f(x)|$ esiste allora $lim x->x_o f(x)$ esiste. Questa non ho scritto niente perché non ho ben capito.
Allora ragazzi, una mano? Ho fatto il più, ma vorrei sapere se è giusto o sbagliato quel che ho scritto.
1)Sia $f(x):RR->RR$ derivabile due volte. Dire:
1a)Se $lim x->oo f'(x)=0$ allora f(x) ha asintoto orizzontale. Qui ho scritto VERA, ma l'ho dimostrato con un esempio. Non mi vengono in mente altre maniere, forse per il fatto che affinché $lim x->oo f'(x)=0$ è che ad esempio al denominatore, nel caso di una funzione fratta, si abbia un infinito di ordine superiore, e allora in $f(x)$ al numeratore e al denominatore gli infiniti siano dello stesso ordine, ma come?
1b)Se $f'(x)>0$ allora $f(x)$ è strettamente crescente. Qui ho scritto FALSA perché in realtà dovrebbe essere $f'(x)>=0$. Giusto?
1c)Se f(x) strettamente convessa in $RR$ allora $f''(x)>0 $ per ogni x di $RR$. Qui ho messo VERA per il criterio di convessità, cioè per il fatto che le definizioni di f(x) convessa si equivale con f(x) strettamente crescente, quest'ultima si equivale con f(x) strettamente convessa, e per transitività le prime due si equivalgono.
2)Siano $a_n$ e $b_n$ due successioni.
2a)Se $a_n$ diverge negativamente sarà limitata superiormente. Qui ho scritto FALSA riportando il controesempio della successione $-n$ e studiandone i limiti per $n->pmoo$
2b)Se $a_n<=b_n<0$ e $lim n->oo a_n=ainRR$ allora anche il limite di $b_n$ converge. Queste dovrebbe essere VERA, ma non capisco perché? C'entra qualcosa il teorema della permanenza del segno o quello dei carabinieri?
2c)Se $lim n->oo a_n=0$ e $lim n->oo b_n=-oo$ allora $lim n->oo (b_n)/(a_n)=-oo$. Questa è VERA, o no?
3)Siano f e g due funzioni reali di variabile reali.
3a)Se $lim x->+oo f(x)$ non esiste allora anche $lim x->+oo f(x)*g(x) $ non esiste. Qui ho risposto VERA, anche se non ho dato una spiegazione.
3b)Se $lim x->0 f(x)=0$ allora anche $lim x->o f(x)/g(x) =0$. Qui ho scritto FALSA in quanto dipende dall'infinitesimo di ordine superiore o inferiore.
3c)Se $lim x->x_o |f(x)|$ esiste allora $lim x->x_o f(x)$ esiste. Questa non ho scritto niente perché non ho ben capito.
Allora ragazzi, una mano? Ho fatto il più, ma vorrei sapere se è giusto o sbagliato quel che ho scritto.
Risposte
Ci siete? Up
"Cris96":
1)Sia $f(x):RR->RR$ derivabile due volte. Dire:
1a)Se $lim x->oo f'(x)=0$ allora f(x) ha asintoto orizzontale. Qui ho scritto VERA,
e, invece è falsa, infatti considera $f(x)=sqrtx$
$lim_(x->+oo) f'(x)=0$ , ma la funzione non ha asintoto orizzontale.
Vale il viceversa, cioè se ha asintoto orizzontale allora $lim_(x->oo) f'(x)=0$
"Cris96":
1b)Se $f'(x)>0$ allora $f(x)$ è strettamente crescente. Qui ho scritto FALSA
perché? si potrebbe anche annullare, ma se è strettamente positiva la crescenza è assicurata.
"Cris96":
3)Siano f e g due funzioni reali di variabile reali.
3a)Se $lim x->+oo f(x)$ non esiste allora anche $lim x->+oo f(x)*g(x) $ non esiste. Qui ho risposto VERA,
È falsa basta prendere $f(x)=sinx$ e $g(x)=1/x$
"Cris96":
3b)Se $lim x->0 f(x)=0$ allora anche $lim x->o f(x)/g(x) =0$. Qui ho scritto FALSA in quanto dipende dall'infinitesimo di ordine superiore o inferiore.
questo va bene
Riguardo 1c, 2b, 2c e 3c?
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