Studio successione di funzioni

freddofede
$f_n(x)=(\cos x)/n-\cos(x/n)$

Voi come la studiereste la convergenza di questa successione di funzioni, dopo aver scoperto che la convergenza puntuale si ha verso $f(x)=-1$?

Risposte
gugo82
Le funzioni $f_n-f$ sono limitate in $RR$ (sono somma di una funzione costante e di funzioni limitate); quindi tutto sta nel determinare, per ogni $n$, il massimo (o comunque l'estremo superiore) $M_n$ di $f_n-f$ e dimostrare che la successione di termine generale $M_n$ tende a zero.

freddofede
quindi tutto sta nel determinare, per ogni n, il massimo (o comunque l'estremo superiore) Mn di fn-f e dimostrare che la successione di termine generale Mn tende a zero.


Appunto :-D.

gugo82
[Cancellato - ho sbagliato a cliccare pulsante, sorry.]

gugo82
"lore":
quindi tutto sta nel determinare, per ogni n, il massimo (o comunque l'estremo superiore) Mn di fn-f e dimostrare che la successione di termine generale Mn tende a zero.


Appunto :-D.

E non è per nulla difficile, aggiungerei. :-D

[size=75]Infatti ogni $f_n-f \in C^oo$ e gli zeri della derivata prima si determinano con le formule di prostaferesi (salvo errori di valutazione da parte mia). [/size]

freddofede
Al calcolo degli 0 ci posso anche arrivare... solo che l'altro giorno mi misi a farla e ci ho perso troppo tempo (fuso a forza di risolvere ste "cose"?!) e ormai ho diversi altri esercizi da fare, e non ho tempo di rimettermici.

Quindi se hai tempo per farmi un abbozzo di procedimento non mi disgarberebbe :-)

gugo82
Guarda non c'è nemmeno bisogno di derivare... :-D

Nota che $f_n$ è nulla in $npi/2$, quindi la funzione $|f_n-f|$ assume sempre almeno una volta il valore $1$ in $RR$: ciò non sarebbe possibile in caso di convergenza uniforme, perchè in tal caso dovresti avere $|f_n(x)-f(x)|<1/2$ per $n>nu$ e per ogni $x\in RR$.
Pertanto la convergenza non è uniforme.

freddofede
Sì; se non erro inoltre 1 lo dovrebbe assumere in infiniti punti. Ok, torna.

Ma secondo te cosa intendeva(no) Marcellini-Sbordone quando hanno messo come risposta un secco: "Si ha $f_{n}(n)-f(n)->1-\cos 1$"? Cioè, sul fatto che il limite sia corretto possiamo essere d'accordo, ma come hanno fatto a stabilire che il sup è $n$?

ViciousGoblin
"lore":
Sì; se non erro inoltre 1 lo dovrebbe assumere in infiniti punti. Ok, torna.

Ma secondo te cosa intendeva(no) Marcellini-Sbordone quando hanno messo come risposta un secco: "Si ha $f_{n}(n)-f(n)->1-\cos 1$"? Cioè, sul fatto che il limite sia corretto possiamo essere d'accordo, ma come hanno fatto a stabilire che il sup è $n$?


Non c'e' bisogno che il sup sia assunto in $n$.

In effetti se c'e' una qualsivoglia successione $x_n$ tale che $f_n(x_n)-f(x_n)$ non tende a zero, allora non e' possibile che $f_n$ tenda uniformemente a $f$

gugo82
"ViciousGoblinEnters":
[quote="lore"]Sì; se non erro inoltre 1 lo dovrebbe assumere in infiniti punti. Ok, torna.

Ma secondo te cosa intendeva(no) Marcellini-Sbordone quando hanno messo come risposta un secco: "Si ha $f_{n}(n)-f(n)->1-\cos 1$"? Cioè, sul fatto che il limite sia corretto possiamo essere d'accordo, ma come hanno fatto a stabilire che il sup è $n$?


Non c'e' bisogno che il sup sia assunto in $n$.

In effetti se c'e' una qualsivoglia successione $x_n$ tale che $f_n(x_n)-f(x_n)$ non tende a zero, allora non e' possibile che $f_n$ tenda uniformemente a $f$[/quote]
Quoto, ha completamente ragione.

dissonance
Su questo argomento c'è un esercizio del Rudin "baby" (principi di analisi matematica; il fratello maggiore, come Gugo aveva profetizzato, mi sta facendo dannare. Naturalmente è colpa di Gugo che porta iella :-D) che mi piacque:
es. 9 cap. 7: Sia ${f_n}$ una successione di funzioni continue convergente uniformemente in un insieme $E$ ad una funzione
$f$. Dimostrare che
$lim_{n\toinfty}f_n(x_n)=f(x)$
per ogni successione di punti $x_n\inE$ tali che $x_n\tox$ e $x\inE$.
(*)Vale il viceversa?

Mi è rimasto impresso questo esercizio perché non fui assolutamente in grado di risolvere la parte segnata con (*), e invece la soluzione è incredibilmente facile.

ViciousGoblin
In effetti, in termini di successioni:
$f_n\to f$ uniformemente in $A$ se e solo se per ogni successione $(x_n)$ in $A$ si ha $f_n(x_n)-f(x_n)\to0$.

Questo "suggerisce" che prendere solo le successioni convergenti non basti ...

dissonance
Mi hai dato uno spunto interessante su cui riflettere. Il "solo se" mi è chiaro, ma il "se" perché...?

Comunque io pensavo(*) ad una cosa più immediata: la proposizione dell'esercizio è vera (ad esempio) anche se (parlando di successioni di funzioni $RR\toRR$) la convergenza è uniforme sui soli compatti. Quindi non vale il viceversa e i controesempi sono facili da costruire: prendiamo per esempio la successione di funzioni $RR\toRR$: $f_n(x)= 1/nx$.

(*) Vabbé, devo dirla tutta: una domanda simile a questa mi fu posta ad un esame ... e io non riuscii a rispondere. Da quel momento questo fatto mi è rimasto marchiato a fuoco addosso. :-)

freddofede
Vicious, ma quello che hai detto te non dovrebbe valere pure per la convergenza puntuale...?

ViciousGoblin
"lore":
Vicious, ma quello che hai detto te non dovrebbe valere pure per la convergenza puntuale...?


Ti riferisci a quanto dicevo prima :

$f_n\to f$ uniformemente in $A$ se e solo se per ogni successione $(x_n)$ in $A$ si ha $f_n(x_n)-f(x_n)\to0$ ?

Beh questo non vale per la convergenza puntuale, come mostra l'esempio da cui e' partito il thread:
nel tuo caso $f_n(x)\to f(x)$ per ogni $x$ mentre $f_n(n)-f(n)\to 1-\cos(1)\ne0$ (qui $x_n=n$)

ViciousGoblin
"dissonance":
Mi hai dato uno spunto interessante su cui riflettere. Il "solo se" mi è chiaro, ma il "se" perché...?

Comunque io pensavo(*) ad una cosa più immediata: la proposizione dell'esercizio è vera (ad esempio) anche se (parlando di successioni di funzioni $RR\toRR$) la convergenza è uniforme sui soli compatti. Quindi non vale il viceversa e i controesempi sono facili da costruire: prendiamo per esempio la successione di funzioni $RR\toRR$: $f_n(x)= 1/nx$.

(*) Vabbé, devo dirla tutta: una domanda simile a questa mi fu posta ad un esame ... e io non riuscii a rispondere. Da quel momento questo fatto mi è rimasto marchiato a fuoco addosso. :-)


Sai che non capisco a cosa ti riferisci ? Qual e' la proposizione dell'esercizio?

se stai parlando della mia affermazione sulla caratterizzazione mediante successioni, direi che questa non vale supponendo solo la convergenza uniforme sui compatti.
Prendi proprio $f_n(x)=x/n$; e' facile vedere che $f_n\to0$ uniformemente sui ogni compatto , ma $f_n(n)-0=1$ che non tende a zero.

Riguardo alla caratterizzazione successionale, curiosamente a me sembra immediato il "se":

supponiamo $f_n\to f$ uniformemente in $A$ e sia $(x_n)$ e' una qualunque successione in $A$; allora
$|f_n(x_n)-f(x_n)|\leq||f_n-f||_\infty\to0$

L'altra implicazione mi sembra un po' piu' pallosa - bisogna negare la convergenza uniforme e costruire una successione su cui $f_n$ ef $f$ rimangono lontane.




EDIT. Mmmh, rileggendo il tuo post forse e' proprio la seconda implicazione che non ti sembra (giustamente) immediata:

supponiamo che $f_n$ non tenda uniformemente a $f$. Allora $||f_n-f||_\infty$ non tende a zero. Per ogni $n$ possiamo prendere un punto $x_n$ tale che

$|f_n(x_n)-f(x_n)|\geq\frac{1}{2}||f_n-f||_\infty$ (se il termine di destra fa zero un qualunque punto va bene, se no uso le proprieta' del sup);
ne deduco che $f_n(x_n)-f(x_n)$ non tende a zero.



PS come si scrive il sup in mathml ??

freddofede
"ViciousGoblinEnters":
[quote="lore"]Vicious, ma quello che hai detto te non dovrebbe valere pure per la convergenza puntuale...?


Ti riferisci a quanto dicevo prima :

$f_n\to f$ uniformemente in $A$ se e solo se per ogni successione $(x_n)$ in $A$ si ha $f_n(x_n)-f(x_n)\to0$ ?

Beh questo non vale per la convergenza puntuale, come mostra l'esempio da cui e' partito il thread:
nel tuo caso $f_n(x)\to f(x)$ per ogni $x$ mentre $f_n(n)-f(n)\to 1-\cos(1)\ne0$ (qui $x_n=n$)[/quote]

E' proprio la spiegazione alla prima affermazione che tento di estrapolarti :-).

dissonance
"ViciousGoblinEnters":

Sai che non capisco a cosa ti riferisci ? Qual e' la proposizione dell'esercizio?

oops... hai ragione ultimamente sono diventato ancora più confusionario del solito. Io mi riferivo al fatto che non è sufficiente verificare che $f_n(x_n)-f(x_n)\to0$ (per concludere che la convergenza è uniforme), prendendo le sole successioni $x_n$ convergenti. Infatti questo criterio l'avevo sempre visto come un qualcosa da usarsi per dimostrare che la convergenza non è uniforme.
Trovo interessante il fatto che, facendo cadere l'ipotesi di convergenza della $x_n$, diventi una condizione necessaria e sufficiente, e adesso che hai scritto la dimostrazione intuisco anche il perché. Adesso sono molto stanco ma domani mi leggo tutto con calma (promesso! :-) ). Ah e per il sup io di solito faccio così: \$"sup"\$. ($"sup"$)

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