Studio successione di funzioni
$f_n(x)=(\cos x)/n-\cos(x/n)$
Voi come la studiereste la convergenza di questa successione di funzioni, dopo aver scoperto che la convergenza puntuale si ha verso $f(x)=-1$?
Voi come la studiereste la convergenza di questa successione di funzioni, dopo aver scoperto che la convergenza puntuale si ha verso $f(x)=-1$?
Risposte
Le funzioni $f_n-f$ sono limitate in $RR$ (sono somma di una funzione costante e di funzioni limitate); quindi tutto sta nel determinare, per ogni $n$, il massimo (o comunque l'estremo superiore) $M_n$ di $f_n-f$ e dimostrare che la successione di termine generale $M_n$ tende a zero.
quindi tutto sta nel determinare, per ogni n, il massimo (o comunque l'estremo superiore) Mn di fn-f e dimostrare che la successione di termine generale Mn tende a zero.
Appunto
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[Cancellato - ho sbagliato a cliccare pulsante, sorry.]
"lore":quindi tutto sta nel determinare, per ogni n, il massimo (o comunque l'estremo superiore) Mn di fn-f e dimostrare che la successione di termine generale Mn tende a zero.
Appunto
E non è per nulla difficile, aggiungerei.
[size=75]Infatti ogni $f_n-f \in C^oo$ e gli zeri della derivata prima si determinano con le formule di prostaferesi (salvo errori di valutazione da parte mia). [/size]
Al calcolo degli 0 ci posso anche arrivare... solo che l'altro giorno mi misi a farla e ci ho perso troppo tempo (fuso a forza di risolvere ste "cose"?!) e ormai ho diversi altri esercizi da fare, e non ho tempo di rimettermici.
Quindi se hai tempo per farmi un abbozzo di procedimento non mi disgarberebbe
Quindi se hai tempo per farmi un abbozzo di procedimento non mi disgarberebbe
Guarda non c'è nemmeno bisogno di derivare...
Nota che $f_n$ è nulla in $npi/2$, quindi la funzione $|f_n-f|$ assume sempre almeno una volta il valore $1$ in $RR$: ciò non sarebbe possibile in caso di convergenza uniforme, perchè in tal caso dovresti avere $|f_n(x)-f(x)|<1/2$ per $n>nu$ e per ogni $x\in RR$.
Pertanto la convergenza non è uniforme.
Nota che $f_n$ è nulla in $npi/2$, quindi la funzione $|f_n-f|$ assume sempre almeno una volta il valore $1$ in $RR$: ciò non sarebbe possibile in caso di convergenza uniforme, perchè in tal caso dovresti avere $|f_n(x)-f(x)|<1/2$ per $n>nu$ e per ogni $x\in RR$.
Pertanto la convergenza non è uniforme.
Sì; se non erro inoltre 1 lo dovrebbe assumere in infiniti punti. Ok, torna.
Ma secondo te cosa intendeva(no) Marcellini-Sbordone quando hanno messo come risposta un secco: "Si ha $f_{n}(n)-f(n)->1-\cos 1$"? Cioè, sul fatto che il limite sia corretto possiamo essere d'accordo, ma come hanno fatto a stabilire che il sup è $n$?
Ma secondo te cosa intendeva(no) Marcellini-Sbordone quando hanno messo come risposta un secco: "Si ha $f_{n}(n)-f(n)->1-\cos 1$"? Cioè, sul fatto che il limite sia corretto possiamo essere d'accordo, ma come hanno fatto a stabilire che il sup è $n$?
"lore":
Sì; se non erro inoltre 1 lo dovrebbe assumere in infiniti punti. Ok, torna.
Ma secondo te cosa intendeva(no) Marcellini-Sbordone quando hanno messo come risposta un secco: "Si ha $f_{n}(n)-f(n)->1-\cos 1$"? Cioè, sul fatto che il limite sia corretto possiamo essere d'accordo, ma come hanno fatto a stabilire che il sup è $n$?
Non c'e' bisogno che il sup sia assunto in $n$.
In effetti se c'e' una qualsivoglia successione $x_n$ tale che $f_n(x_n)-f(x_n)$ non tende a zero, allora non e' possibile che $f_n$ tenda uniformemente a $f$
"ViciousGoblinEnters":
[quote="lore"]Sì; se non erro inoltre 1 lo dovrebbe assumere in infiniti punti. Ok, torna.
Ma secondo te cosa intendeva(no) Marcellini-Sbordone quando hanno messo come risposta un secco: "Si ha $f_{n}(n)-f(n)->1-\cos 1$"? Cioè, sul fatto che il limite sia corretto possiamo essere d'accordo, ma come hanno fatto a stabilire che il sup è $n$?
Non c'e' bisogno che il sup sia assunto in $n$.
In effetti se c'e' una qualsivoglia successione $x_n$ tale che $f_n(x_n)-f(x_n)$ non tende a zero, allora non e' possibile che $f_n$ tenda uniformemente a $f$[/quote]
Quoto, ha completamente ragione.
Su questo argomento c'è un esercizio del Rudin "baby" (principi di analisi matematica; il fratello maggiore, come Gugo aveva profetizzato, mi sta facendo dannare. Naturalmente è colpa di Gugo che porta iella ) che mi piacque:
Mi è rimasto impresso questo esercizio perché non fui assolutamente in grado di risolvere la parte segnata con (*), e invece la soluzione è incredibilmente facile.
) che mi piacque: es. 9 cap. 7: Sia ${f_n}$ una successione di funzioni continue convergente uniformemente in un insieme $E$ ad una funzione
$f$. Dimostrare che
$lim_{n\toinfty}f_n(x_n)=f(x)$
per ogni successione di punti $x_n\inE$ tali che $x_n\tox$ e $x\inE$.
(*)Vale il viceversa?
Mi è rimasto impresso questo esercizio perché non fui assolutamente in grado di risolvere la parte segnata con (*), e invece la soluzione è incredibilmente facile.
In effetti, in termini di successioni:
$f_n\to f$ uniformemente in $A$ se e solo se per ogni successione $(x_n)$ in $A$ si ha $f_n(x_n)-f(x_n)\to0$.
Questo "suggerisce" che prendere solo le successioni convergenti non basti ...
$f_n\to f$ uniformemente in $A$ se e solo se per ogni successione $(x_n)$ in $A$ si ha $f_n(x_n)-f(x_n)\to0$.
Questo "suggerisce" che prendere solo le successioni convergenti non basti ...
Mi hai dato uno spunto interessante su cui riflettere. Il "solo se" mi è chiaro, ma il "se" perché...?
Comunque io pensavo(*) ad una cosa più immediata: la proposizione dell'esercizio è vera (ad esempio) anche se (parlando di successioni di funzioni $RR\toRR$) la convergenza è uniforme sui soli compatti. Quindi non vale il viceversa e i controesempi sono facili da costruire: prendiamo per esempio la successione di funzioni $RR\toRR$: $f_n(x)= 1/nx$.
(*) Vabbé, devo dirla tutta: una domanda simile a questa mi fu posta ad un esame ... e io non riuscii a rispondere. Da quel momento questo fatto mi è rimasto marchiato a fuoco addosso.
Comunque io pensavo(*) ad una cosa più immediata: la proposizione dell'esercizio è vera (ad esempio) anche se (parlando di successioni di funzioni $RR\toRR$) la convergenza è uniforme sui soli compatti. Quindi non vale il viceversa e i controesempi sono facili da costruire: prendiamo per esempio la successione di funzioni $RR\toRR$: $f_n(x)= 1/nx$.
(*) Vabbé, devo dirla tutta: una domanda simile a questa mi fu posta ad un esame ... e io non riuscii a rispondere. Da quel momento questo fatto mi è rimasto marchiato a fuoco addosso.
Vicious, ma quello che hai detto te non dovrebbe valere pure per la convergenza puntuale...?
"lore":
Vicious, ma quello che hai detto te non dovrebbe valere pure per la convergenza puntuale...?
Ti riferisci a quanto dicevo prima :
$f_n\to f$ uniformemente in $A$ se e solo se per ogni successione $(x_n)$ in $A$ si ha $f_n(x_n)-f(x_n)\to0$ ?
Beh questo non vale per la convergenza puntuale, come mostra l'esempio da cui e' partito il thread:
nel tuo caso $f_n(x)\to f(x)$ per ogni $x$ mentre $f_n(n)-f(n)\to 1-\cos(1)\ne0$ (qui $x_n=n$)
"dissonance":
Mi hai dato uno spunto interessante su cui riflettere. Il "solo se" mi è chiaro, ma il "se" perché...?
Comunque io pensavo(*) ad una cosa più immediata: la proposizione dell'esercizio è vera (ad esempio) anche se (parlando di successioni di funzioni $RR\toRR$) la convergenza è uniforme sui soli compatti. Quindi non vale il viceversa e i controesempi sono facili da costruire: prendiamo per esempio la successione di funzioni $RR\toRR$: $f_n(x)= 1/nx$.
(*) Vabbé, devo dirla tutta: una domanda simile a questa mi fu posta ad un esame ... e io non riuscii a rispondere. Da quel momento questo fatto mi è rimasto marchiato a fuoco addosso.
Sai che non capisco a cosa ti riferisci ? Qual e' la proposizione dell'esercizio?
se stai parlando della mia affermazione sulla caratterizzazione mediante successioni, direi che questa non vale supponendo solo la convergenza uniforme sui compatti.
Prendi proprio $f_n(x)=x/n$; e' facile vedere che $f_n\to0$ uniformemente sui ogni compatto , ma $f_n(n)-0=1$ che non tende a zero.
Riguardo alla caratterizzazione successionale, curiosamente a me sembra immediato il "se":
supponiamo $f_n\to f$ uniformemente in $A$ e sia $(x_n)$ e' una qualunque successione in $A$; allora
$|f_n(x_n)-f(x_n)|\leq||f_n-f||_\infty\to0$
L'altra implicazione mi sembra un po' piu' pallosa - bisogna negare la convergenza uniforme e costruire una successione su cui $f_n$ ef $f$ rimangono lontane.
EDIT. Mmmh, rileggendo il tuo post forse e' proprio la seconda implicazione che non ti sembra (giustamente) immediata:
supponiamo che $f_n$ non tenda uniformemente a $f$. Allora $||f_n-f||_\infty$ non tende a zero. Per ogni $n$ possiamo prendere un punto $x_n$ tale che
$|f_n(x_n)-f(x_n)|\geq\frac{1}{2}||f_n-f||_\infty$ (se il termine di destra fa zero un qualunque punto va bene, se no uso le proprieta' del sup);
ne deduco che $f_n(x_n)-f(x_n)$ non tende a zero.
PS come si scrive il sup in mathml ??
"ViciousGoblinEnters":
[quote="lore"]Vicious, ma quello che hai detto te non dovrebbe valere pure per la convergenza puntuale...?
Ti riferisci a quanto dicevo prima :
$f_n\to f$ uniformemente in $A$ se e solo se per ogni successione $(x_n)$ in $A$ si ha $f_n(x_n)-f(x_n)\to0$ ?
Beh questo non vale per la convergenza puntuale, come mostra l'esempio da cui e' partito il thread:
nel tuo caso $f_n(x)\to f(x)$ per ogni $x$ mentre $f_n(n)-f(n)\to 1-\cos(1)\ne0$ (qui $x_n=n$)[/quote]
E' proprio la spiegazione alla prima affermazione che tento di estrapolarti
.
"ViciousGoblinEnters":
Sai che non capisco a cosa ti riferisci ? Qual e' la proposizione dell'esercizio?
oops... hai ragione ultimamente sono diventato ancora più confusionario del solito. Io mi riferivo al fatto che non è sufficiente verificare che $f_n(x_n)-f(x_n)\to0$ (per concludere che la convergenza è uniforme), prendendo le sole successioni $x_n$ convergenti. Infatti questo criterio l'avevo sempre visto come un qualcosa da usarsi per dimostrare che la convergenza non è uniforme.
Trovo interessante il fatto che, facendo cadere l'ipotesi di convergenza della $x_n$, diventi una condizione necessaria e sufficiente, e adesso che hai scritto la dimostrazione intuisco anche il perché. Adesso sono molto stanco ma domani mi leggo tutto con calma (promesso!
). Ah e per il sup io di solito faccio così: \$"sup"\$. ($"sup"$)
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