Studio sommabilità in senso generalizzato
Salve ho da studiare la sommabilità in senso generalizzato in $[0,1]$ della funzione:
$f(x) = sqrt(x)/(sin^alpha(x))$ con $alpha in RR$
Sapendo che per trovare la sommabilità devo studiare l'integrabilità assoluta della funzione, essendo però un intervallo chiuso non so come approcciarmi al problema.
Come dovrei considerare i due estremi nel calcolo della convergenza o divergenza del limite?
$f(x) = sqrt(x)/(sin^alpha(x))$ con $alpha in RR$
Sapendo che per trovare la sommabilità devo studiare l'integrabilità assoluta della funzione, essendo però un intervallo chiuso non so come approcciarmi al problema.
Come dovrei considerare i due estremi nel calcolo della convergenza o divergenza del limite?
Risposte
Intorno a 1 non ci sono patologie. Potrebbero esserci solo intorno a 0: fai una stima asintotica (utilizza il fatto che [tex]{\sin^{\alpha} x}\approx x^{\alpha}[/tex] per [tex]x\to0[/tex]).
Generalizzando il tutto, deve vedere prima se nei punti dell'intervallo la funzione ha qualche punto singolare, in tal caso come dovrei muovermi?
Dimenticavo: la stima asintotica che ti ho detto vale solo per $alpha>0$ (per $alpha=0$ sicuramente $f$ è sommabile in $[0,1]$). Per $alpha < 0$ non c'è alcun problema,
basta infatti scrivere $sqrtx sin^(-alpha)(x)$, dove adesso $-alpha$ è positivo e non ci sono più patologie.
Occorre dunque controllare l'integrabilità assoluta per $alpha>0$: se fai la stima che ti ho detto dovresti ottenere $alpha<3/2$ come risultato finale.
basta infatti scrivere $sqrtx sin^(-alpha)(x)$, dove adesso $-alpha$ è positivo e non ci sono più patologie.
Occorre dunque controllare l'integrabilità assoluta per $alpha>0$: se fai la stima che ti ho detto dovresti ottenere $alpha<3/2$ come risultato finale.
allora ho svolto i calcoli:
per $alpha = 0$ intendo $f$ come $1/x^-(1/2)$ e quindi riferendomi alle integrabilità "notevoli" essendo $-1/2 < 1$ la sommabilità è assicurata.
per $alpha > 0$ come da te consigliato ho fatto la stima e risulta sommabile per $alpha < 3/2 $
il problema resta per $alpha < 0$ cosa intendi per "non ci sono patologie"?
per $alpha = 0$ intendo $f$ come $1/x^-(1/2)$ e quindi riferendomi alle integrabilità "notevoli" essendo $-1/2 < 1$ la sommabilità è assicurata.
per $alpha > 0$ come da te consigliato ho fatto la stima e risulta sommabile per $alpha < 3/2 $
il problema resta per $alpha < 0$ cosa intendi per "non ci sono patologie"?
Per $alpha<0$ non c'è nessun problema invece: leggi quello che ho scritto sopra.
Ho letto, come problema intendevo che non riesco a capire. Essendo esponente sempre positivo, la funzione è continua senza intoppi e quindi integrabile?
"f0rbid":
allora ho svolto i calcoli:
per $alpha = 0$ intendo $f$ come $1/x^-(1/2)$ e quindi riferendomi alle integrabilità "notevoli" essendo $-1/2 < 1$ la sommabilità è assicurata.
Scusa, che ragionamento stai facendo? Se $alpha=0$ l'integranda è semplicemente $sqrtx$, perché riscriverla in quel modo?!
Per $alpha=0$ la funzione non è più infinita (e l'ordine di un infinito non è negativo)!
"f0rbid":
Ho letto, come problema intendevo che non riesco a capire. Essendo esponente sempre positivo, la funzione è continua senza intoppi e quindi integrabile?
Yes.
Quindi in pratica, quando devo studiare la sommabilità di una funzione, la studio naturalmente in valore assoluto perchè devo determinare l'integrabilità assoluta, vedo dove la funzione è continua e quindi integrabile e di conseguenza sommabilità assicurata, nel caso trovo punti di singolarità come devo comportarmi? (ti ripeto la domanda) e nel caso l'intervallo fosse $]0,1]$ oppure aperto a destra, devo vedere quando l'integrale converge passando al limite per $0+$ o $1-$ a seconda dei casi?
Come puoi comportarti? Ci sono due alternative, anzi tre: 1) criterio del confronto: maggiori la funzione con un'altra integrabile
nello stesso intervallo; 2) fai stime asintotiche (come in questo caso); 3) c'è un criterio che dice che passando ad una opportuna
serie e studiandone il comportamento, si riesce a dire qualcosa anche sull'integrale, ma sinceramente non me lo ricordo in dettaglio.
nello stesso intervallo; 2) fai stime asintotiche (come in questo caso); 3) c'è un criterio che dice che passando ad una opportuna
serie e studiandone il comportamento, si riesce a dire qualcosa anche sull'integrale, ma sinceramente non me lo ricordo in dettaglio.
Ma io avvicinandomi da poco agli integrali impropri e generalizzati sapevo che per integrali generalizzati si intendesse quelle funzioni integrande studiate negli intervalli aperti del tipo $]a,b] [a,b[ $ in modo che si ponesse il limite con uno dei due estremi non inclusi nell'intervallo e poi studiare se tale limite dell'integrale convergeva con i criteri che esistono. La mia domanda nasceva nelle domande che chiedevano la sommabilità in senso generalizzato e improprio delle funzioni negli intervalli chiusi come questo esempio. Poi in senso generalizzato e improprio gli studi da fare sono due? O per "generalizzato e improprio" si intende il tipo di integrale associato alla non continuità o limitatezza della funzione in quell'intervallo?
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