Studio serie parametrica a segni alterni

[lucabro1]

Buongiorno,
la serie in questione è la seguente:

$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1+\tan(1/n)}{(n+1)^\alpha}$

Per ora considero $\alpha>1$

E' corretto dire che dato:

$\lim_{n\to\infty} (-1)^n \frac{1+\tan(1/n)}{(n+1)^\alpha} = 0$

e data l'assoluta convergenza, infatti:

$|(-1)^n \frac{1+\tan(1/n)}{(1+n)^\alpha}| = \frac{1+\tan(1/n)}{(1+n)^\alpha}$

$\sum_{0}^{\infty}\frac{1+\tan(1/n)}{(1+n)^\alpha}$ per confronto $\lim_{n\to\infty} \frac{1+tan(1/n)}{(1+n)^\alpha} \approx \lim_{n\to\infty}1/n^\alpha$ quindi la serie converge assolutamente perché $1/n^\alpha$ è armonica con $\alpha>1$

Allora la serie di partenza è convergente?

[ostrogoto1]

Dunque nell'ordine: il limite del termine generale della serie e' una condizione necessaria non sufficiente.
Poi "se una serie converge assolutamente allora converge semplicemente " e' un'affermazione vera.
Di solito per serie armonica si intende $ sum_(n=1)^(+oo)1/n $ che notoriamente e' divergente. Poi e' vero che $ sum_(n=1)^(+oo)1/n^beta $ [serie armonica generalizzata se proprio vogliamo essere pignoli con i nomi] converge per $ beta>1 $. La conclusione corretta e' che per $ alpha>1 $ la serie data converge perche' converge assolutamente essendo $ \frac{1+\tan(1/n)}{(n+1)^\alpha}~1/n^alpha $ e $ sum_(n=1)^(+oo)1/n^alpha $ convergente per $ alpha>1 $.

[lucabro1]

Ok ti rigrazio