Studio serie di potenze
Salve a tutti mi servirebbe un piccolo aiuto nello studio della seguente serie di potenze:
$\sum_{n=1}^(+\infty) x^n/log(3n^2+2)$
Ho utilizzato il criterio di Cauchy-Hadamard ottenendo che il raggio di convergenza è $r=1$ per cui per il teorema del raggio:
converge puntualmente in $]-1,1[$
converge uniformemente in $[-k,k]$ con $0
ottengo la serie: $\sum_{n=1}^(+\infty) 1/log(3n^2+2)$ che non riesco a capire con quale criterio studiare.Qualcuno mi può aiutare?
$\sum_{n=1}^(+\infty) x^n/log(3n^2+2)$
Ho utilizzato il criterio di Cauchy-Hadamard ottenendo che il raggio di convergenza è $r=1$ per cui per il teorema del raggio:
converge puntualmente in $]-1,1[$
converge uniformemente in $[-k,k]$ con $0
ottengo la serie: $\sum_{n=1}^(+\infty) 1/log(3n^2+2)$ che non riesco a capire con quale criterio studiare.Qualcuno mi può aiutare?
Risposte
Qualcuno che mi da una mano......
Io direi che puoi usare il criterio del confronto: osserva che [tex]$3n^2+2<3(n+1)^2, n\geq 2$[/tex] per cui si ha pure
[tex]$\log(3n^2+2)<\log[3(n+1)^2]=2\log[\sqrt{3}(n+1)]<2\sqrt{3}(n+1),\qquad n\geq 2[/tex]
in quanto, per [tex]$x>1$[/tex] risulta [tex]$\log x\frac{1}{b}$[/tex],
[tex]$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\log(3n^2+2)}=\frac{1}{\log 5}+\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{\log(3n^2+2)}>\frac{1}{\log 5}+\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{2\sqrt{3}(n+1)}=\frac{1}{\log 5}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\sum_{n=3}^\infty\frac{1}{n}$[/tex]
L'ultima serie scritta è, a meno di due termini finiti, la serie armonica, che come ben sai diverge. Ne segue che la serie originale diverge per confronto (maggiorazione) con una serie divergente.
[tex]$\log(3n^2+2)<\log[3(n+1)^2]=2\log[\sqrt{3}(n+1)]<2\sqrt{3}(n+1),\qquad n\geq 2[/tex]
in quanto, per [tex]$x>1$[/tex] risulta [tex]$\log x
[tex]$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\log(3n^2+2)}=\frac{1}{\log 5}+\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{\log(3n^2+2)}>\frac{1}{\log 5}+\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{2\sqrt{3}(n+1)}=\frac{1}{\log 5}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\sum_{n=3}^\infty\frac{1}{n}$[/tex]
L'ultima serie scritta è, a meno di due termini finiti, la serie armonica, che come ben sai diverge. Ne segue che la serie originale diverge per confronto (maggiorazione) con una serie divergente.
Io avevo pensato di usare il teorema di Raabe
"identikit_man":
Io avevo pensato di usare il teorema di Raabe
Che conduce ad un limite uguale a zero e quindi assicura che la serie diverge. Anche quello va bene, ma il limite è un po' una rottura (credo).
si esatto quello era stato il mio ragionamentto.
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