Studio serie di potenze
Salve a tutti. Vi chiedo una mano nell'impostazione del seguente esercizio nel quale si chiede di determinare l'insieme di convergenza della serie e di studiarne la convergenza totale ed uniforme.
$ sum_(n = 0)^(oo) log (n+1)/(2^n + 3^n) * (x-1)^n $
La prima cosa che ho fatto è stato effettuare la sostituzione y=x-1.
Ciò detto ho provato ad applicare il criterio della radice e quello del rapporto per serie di potenze ma senza alcun giovamento.
Ho provato poi a farmi forza del teorema sul limite della serie delle derivate ma senza successo.
Spero possiate illuminarmi.
Grazie dell'attenzione!
$ sum_(n = 0)^(oo) log (n+1)/(2^n + 3^n) * (x-1)^n $
La prima cosa che ho fatto è stato effettuare la sostituzione y=x-1.
Ciò detto ho provato ad applicare il criterio della radice e quello del rapporto per serie di potenze ma senza alcun giovamento.
Ho provato poi a farmi forza del teorema sul limite della serie delle derivate ma senza successo.
Spero possiate illuminarmi.
Grazie dell'attenzione!
Risposte
$frac {frac {log ((n+1)+1)}{2^{n+1}+3^{n+1}}}{frac {log (n+1)}}{{2^n+3^n}}=frac {log (n+2)}{2^{n+1}+3^{n+1}}*frac {2^n+3^n}{log (n+1)} to frac {log n}{3*3^n}*frac {3^n}{log n} to 1/3 => \rho = 1/(1/3)=3$
Spero di non aver scritto cavolate. In tal caso avresti convergenza per $y in (-3,3) $, quindi $-3 x in (-2,4) $
Spero di non aver scritto cavolate. In tal caso avresti convergenza per $y in (-3,3) $, quindi $-3
Io pure mi trovo che il raggio di convergenza è $3$, continuando da dove hai lasciato, possiamo dire che la serie converge puntualmente in quell'intervallo $(-2,4)$, bisogna verificare adesso la convergenza per entrambi gli estremi, e se non ho sbagliato sia per $x=(-2)$ che per $x=4$ la serie di partenza risulta essere non convergente;
quindi possiamo affermare che c'è convergenza puntuale nell'intervallo $]-2,4[$ e convergenza uniforme in $[-2+k,4-k]$ con $k>0$
Spero di non aver commesso errori pure io (non sono molto bravo in questi esercizi)
quindi possiamo affermare che c'è convergenza puntuale nell'intervallo $]-2,4[$ e convergenza uniforme in $[-2+k,4-k]$ con $k>0$
Spero di non aver commesso errori pure io (non sono molto bravo in questi esercizi)
Grazie a tutti. Anche se non mi è chiaro il passaggio algebrico fatto da kebeilprofeta per passare dal lato sinistro a quello destro della freccia! Mi potresti dire che proprietà hai usato?
Grazie ancora di tutto.
Grazie ancora di tutto.
quale passaggio intendi?
Ho usato
$log (n+2)~~log (n+1)~~log (n) $ e $2^n+3^n~~3^n $
$log (n+2)~~log (n+1)~~log (n) $ e $2^n+3^n~~3^n $
Grazie di cuore a tutti. L'unica cosa che ancora non ho capito è come determinare il carattere della serie numerica che si ottiene mettendo x=-2. Genny_it sostiene che la serie non sia convergente ma non capisco il perché.
Wolfram non fa altro che dirmi che sia il teorema della radice che quello del rapporto sono inefficaci.
Wolfram non fa altro che dirmi che sia il teorema della radice che quello del rapporto sono inefficaci.
sostituendo $x=-2$ abbiamo:
$ sum_(n = 0)^(oo) log (n+1)/(2^n + 3^n) * (-3)^n $
Possiamo riscriverla come:
$ sum_(n = 0)^(oo) (-1)^n log (n+1)/(2^n + 3^n) * (3)^n $ in realtà avevo applicato il criterio di leibnitz e, se non ho sbagliato pure questo il termine generale della serie non è decrescente, e quindi ho scritto che non convergeva, ma rileggendo gli appunti che tengo nn dicono che la serie non converge, ma solo che non è applicabile il teorema.
fa finta come se non ti avessi detto niente perchè diversamente non ho idee, scusami se risulto poco utile
Se qualcun altro, sappia verificare la convergenza della serie numerica vorrei capire pure io come verificarla!
$ sum_(n = 0)^(oo) log (n+1)/(2^n + 3^n) * (-3)^n $
Possiamo riscriverla come:
$ sum_(n = 0)^(oo) (-1)^n log (n+1)/(2^n + 3^n) * (3)^n $ in realtà avevo applicato il criterio di leibnitz e, se non ho sbagliato pure questo il termine generale della serie non è decrescente, e quindi ho scritto che non convergeva, ma rileggendo gli appunti che tengo nn dicono che la serie non converge, ma solo che non è applicabile il teorema.
fa finta come se non ti avessi detto niente perchè diversamente non ho idee, scusami se risulto poco utile
Se qualcun altro, sappia verificare la convergenza della serie numerica vorrei capire pure io come verificarla!
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