Studio serie di potenza
Buongiorno a tutti.
Tra le prove degli esami passati che mi ha dato la mia professoressa su cui studio, c'è lo studio di una serie di potenze.
La serie è la seguente: $[(-1)^n*(cos x)^n]/n^3$
Ora mi rendo conto di due cose:
1) è una serie di potenze
2) è a segni alterni.
Col mio metodo (evidentemente sbagliato) ho fatto la seguente riflessione:
il raggio di convergenza di questa serie sarà uguale al reciproco del seguente limite $lim([(-1)^(n+1)]/(n+1)^3 * n^3/[(-1)^n])$ per N che tende ad infinito.
Il risultato sarebbe $-1
Dove sbaglio? (credo ovunque. In tal caso, potrei sapere qual è la "strada" giusta?).
Tra le prove degli esami passati che mi ha dato la mia professoressa su cui studio, c'è lo studio di una serie di potenze.
La serie è la seguente: $[(-1)^n*(cos x)^n]/n^3$
Ora mi rendo conto di due cose:
1) è una serie di potenze
2) è a segni alterni.
Col mio metodo (evidentemente sbagliato) ho fatto la seguente riflessione:
il raggio di convergenza di questa serie sarà uguale al reciproco del seguente limite $lim([(-1)^(n+1)]/(n+1)^3 * n^3/[(-1)^n])$ per N che tende ad infinito.
Il risultato sarebbe $-1
Dove sbaglio? (credo ovunque. In tal caso, potrei sapere qual è la "strada" giusta?).
Risposte
Si, è una serie di potenze, ma al posto di $x$ hai il $cos(x)$.
Spunto di riflessione:
quella serie, è assolutamente convergente?
dove?
Ti aggiungo anche questo, è uniformemente convergente?
La funzione somma è continua?
Spunto di riflessione:
quella serie, è assolutamente convergente?
dove?
Ti aggiungo anche questo, è uniformemente convergente?
La funzione somma è continua?
Ciao e grazie per la risposta.
Il mio problema è proprio che non so come studiare la convergenza di questa serie. Non puoi chiedermi se e dove converge!!!
Come posso verificare la convergenza??
Grazie.
Il mio problema è proprio che non so come studiare la convergenza di questa serie. Non puoi chiedermi se e dove converge!!!
Come posso verificare la convergenza??
Grazie.
La serie converge assolutamente ovunque, quindi converge ovunque. Per verficarlo devi usare il criterio del confronto con una serie a termini positivi che converge, fa al tuo caso quella i cui termini sono questi $1/n^3$, incidentalmente ti accorgi che è anche uniformemente convergente in $R$.
Scusa ma il criterio del confronto non è forse quello in cui "vince" l'infinito di ordine maggiore??
Cioè, usando il confronto sulla serie che hai dato tu $1/n^3$, parrebbe che la serie vada a zero, poichè il denominatore ha ordine 3 e il numeratore ordine 0; no?
Cioè, usando il confronto sulla serie che hai dato tu $1/n^3$, parrebbe che la serie vada a zero, poichè il denominatore ha ordine 3 e il numeratore ordine 0; no?
Un occhio a questo intervento di Gugo potrebbe tornare utile:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#397707
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