Studio serie al variare di X
Ciao, ragazzi posto un esercizio svolto in classe dove non capisco il procedimento adottato in un passaggio...
$ sum_(n = 2)^(oo ) x^n/(2^n log n) $ siccome è a termini non positivi verifico se ha convergenza assoluta quindi $ sum_(n = 2)^(oo ) |x|^n/(2^n log n) $ applico poi il criterio della radice ed avrò $ lim_(x -> oo) |x|/(2 root(n)(log n) )= |x|/2 $ .A questo punto analizziamo i vari casi se $ |x|/2<1$ allora la serie converge, se $|x|/2>1 $allora la serie non converge assolutamente ma non vuol dire che non converge la serie di partenza ed andremo ad analizzare meglio questo punto(qui ci sarà il passaggio che nn ho capito) ed infine se $|x|/2=1$ non possiamo dire niente.
Ora analizziamo meglio il punto in cui la serie assoluta non converge$ |x|/2>1$: $ sum_(n = 2)^(oo) |x/2| ^n 1/logn = |A^n/logn| $ che tende a infinito quindi $ |An| $
tende a infinito. E' proprio in questo punto che non capisco cosa si è applicato,e che significhi $ |A^n/logn|$ e tutto il resto.....
$ sum_(n = 2)^(oo ) x^n/(2^n log n) $ siccome è a termini non positivi verifico se ha convergenza assoluta quindi $ sum_(n = 2)^(oo ) |x|^n/(2^n log n) $ applico poi il criterio della radice ed avrò $ lim_(x -> oo) |x|/(2 root(n)(log n) )= |x|/2 $ .A questo punto analizziamo i vari casi se $ |x|/2<1$ allora la serie converge, se $|x|/2>1 $allora la serie non converge assolutamente ma non vuol dire che non converge la serie di partenza ed andremo ad analizzare meglio questo punto(qui ci sarà il passaggio che nn ho capito) ed infine se $|x|/2=1$ non possiamo dire niente.
Ora analizziamo meglio il punto in cui la serie assoluta non converge$ |x|/2>1$: $ sum_(n = 2)^(oo) |x/2| ^n 1/logn = |A^n/logn| $ che tende a infinito quindi $ |An| $
tende a infinito. E' proprio in questo punto che non capisco cosa si è applicato,e che significhi $ |A^n/logn|$ e tutto il resto.....
Risposte
Se |x|>2 allora il termine generale della serie tende all'infinito e quindi non è soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza di una serie.
Nell'esercizio, è stata indicata con $A$ la quantità $x/2$; si ottiene così $|x/2|^n=|A|^n$.
Infine $|A|^n->+oo$ per $n->+oo$ perchè da $|x|>2$ segue $|A|:=|x/2|>1$
Nell'esercizio, è stata indicata con $A$ la quantità $x/2$; si ottiene così $|x/2|^n=|A|^n$.
Infine $|A|^n->+oo$ per $n->+oo$ perchè da $|x|>2$ segue $|A|:=|x/2|>1$
"Relegal":
Se |x|>2 allora il termine generale della serie tende all'infinito e quindi non è soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza di una serie.
Nell'esercizio, è stata indicata con $A$ la quantità $x/2$; si ottiene così $|x/2|^n=|A|^n$.
Infine $|A|^n->+oo$ per $n->+oo$ perchè da $|x|>2$ segue $|A|:=|x/2|>1$
Ok mi hai schiarito le idee, quello che non mi è chiaro ora è che abbiamo $ |A^n/log n|$ e quindi $|An| $ che tendono all'infinito..ma questi sono valori assoluti.Mi sembra di stare al punto di partenza perchè se non convergono i valori assoluti non è detto che non converga la serie.
Allora, fissiamo $x in RR t.c. |x|>2$ e andiamo a vedere cosa succede.
Il termine generale della serie è $x^n/(2^nlogn)$. Notiamo che se $x>2$, il termine generale tende all' infinito per $n->+oo$, se $x<-2$ il termine generale oscilla in segno ma in modulo tende anch'esso all'infinito.
In ambedue i casi non si può avere convergenza della serie perchè non è soddisfatta la condizione necessaria.
Il termine generale della serie è $x^n/(2^nlogn)$. Notiamo che se $x>2$, il termine generale tende all' infinito per $n->+oo$, se $x<-2$ il termine generale oscilla in segno ma in modulo tende anch'esso all'infinito.
In ambedue i casi non si può avere convergenza della serie perchè non è soddisfatta la condizione necessaria.
Quello che non mi è chiaro è che abbiamo approfondito perchè risultava che non convergeva assolutamente e quindi non è detto che non converga la serie di partenza. Ma poi nell'approfondimento abbiamo ancora un valore assoluto che non converge $ |An/logn| $ ?????quindi???
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