Studio serie

[blob84]

Ciao ho questa serie che mi sembra complicata:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (1-tan(\frac{1}{2n}))^{n^2} \);
il limite della successione vale $0$, non scrivo tutti i calcoli perché è abbastanza lungo, però
dopo non capisco quale criterio usare per verificare se converge o diverge.

[Seneca1]

Io direi che potresti valutare l'ordine di infinitesimo del termine generale...

[theras]

Ciao ad entrambi
(in particolar modo,non me ne vorrà blob84,ne approfitto per salutare il Sommo!!):
un altro metodo sarebbe utilizzare il criterio della radice ed osservare che $lim_(n->oo)(a_n)^(1/n)=cdots=e^(-1/2)rArrcdots$.
Saluti dal web.

[blob84]

il criterio della radice va bene, anche se non ho capito come faccia ad uscire $1/\sqrt(e)$, per esempio arrivo al punto:
\(\displaystyle exp(\lim_{n\to\infty} {log(1-tan(\frac{1}{2n}) n }) = e^{\infty*0}\), un altra forma indeterminata da cui secondo la regola mi porto a:
\(\displaystyle exp(\lim_{n\to\infty} {\frac{log(1-tan(\frac{1}{2n})} {\frac{1}{n}} }) = e^{0/0} \), con l'Hopital $->$

\(\displaystyle exp(\lim_{n\to\infty} {\frac{\frac{-1}{cos^2(\frac{1}{2n})(2-2tan(\frac{1}{2n}))}}{-\frac{1}{n^2}} }) = \frac{-\frac{1}{2}}{0} = \infty \)

[theras]

Ciao!
Le ragioni formali del mio procedimento,spessissimo utile davanti alle forme indeterminate del tipo $[1^oo]$,
le trovi in qualche post con Ziben di fine Novembre '11 che ora non ho tempo di cercare per potertici indirizzare subito;
cio detto,nota che:
$lim_(n->oo)(a_n)^(1/n)=lim_(n->oo)(1-text{tg}1/(2n))^n=lim_(n->oo)e^(text{[}(1-text{tg}1/(2n))-1text{]}n)=cdots=e^(-1/2)$
Saluti dal web.