Studio serie
Ciao ragazzi.
Ho qualche problema con questa serie. Ho provato ad usare gli o piccolo in modo da ricondurla a una serie più semplice ma non sono sicuro del risultato.
La serie è questa: $\sum_{n=1}^\infty sen(sqrt(1 + 1/n) -1)$
Posso ricondurre l'argomento del seno in parentesi, tramite gli o piccolo, in questo modo: $\sum_{n=1}^\infty sqrt(1 + 1/n)$ ??
Ho qualche problema con questa serie. Ho provato ad usare gli o piccolo in modo da ricondurla a una serie più semplice ma non sono sicuro del risultato.
La serie è questa: $\sum_{n=1}^\infty sen(sqrt(1 + 1/n) -1)$
Posso ricondurre l'argomento del seno in parentesi, tramite gli o piccolo, in questo modo: $\sum_{n=1}^\infty sqrt(1 + 1/n)$ ??
Risposte
Penso sia equivalente a studiare $\sum_(n=0)^(\infty)sqrt(1 + 1/n) -1$ in quanto:
$lim_(n->\infty)sin(sqrt(1 + 1/n) - 1)/(sqrt(1 + 1/n) -1) =$ (ponendo $x = sqrt(1 + 1/n) -1$) $= lim_(x->0)sinx/x = 1$
$lim_(n->\infty)sin(sqrt(1 + 1/n) - 1)/(sqrt(1 + 1/n) -1) =$ (ponendo $x = sqrt(1 + 1/n) -1$) $= lim_(x->0)sinx/x = 1$
Scusami ho dimenticato il -1 dell'argomento del seno. Secondo te, posso ricondurlo dal risultato del limite che mi hai scritto,confrontando con la serie di partenza? Il limite è simile a quello notevole $\lim_{n \to 0}(senx)/x = 1$.
Nel tuo limite, $n \to \infty$ e quindi non è possibile avere $1$. Come hai ottenuto questo risultato?
Nel tuo limite, $n \to \infty$ e quindi non è possibile avere $1$. Come hai ottenuto questo risultato?
Io sapevo che se $lim_(x->\infty) f(x) = 0$, $lim_(x->\infty)sin(f(x))/f(x) = 1$ (ora probabilmente qualcuno più esperto mi correggerà 
)
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la serie dovrebbe divergere se non ho sbagliato perchè si riconduce alla serie $1/n$ che diverge
Grazie, senzacera. A questo punto, credo anche io che la serie dovrebbe divergere. Quello che non ho capito molto è il passaggio gatto89, se è possibile fare quello che lui ha scritto.
Modificato il primo post per farlo più chiaro 
Perfetto, gatto89! Ti ringrazio!
Figurati 
Scusate ragazzi io non ho capito per quale motivo la serie diverge 
Ciao Cod. La serie precedente si riconduce a $1/n$ che è una serie armonica, che ha un carattere divergente.
Mi sfugge il come si riconduca *-*
Leggiti i passaggi precedenti.
Dal passaggio precedente di gatto89:
La serie è questa: $\sum_(n=0)^(\infty)sqrt(1 + 1/n) -1$. Il termine generale si riconduce a $1/n$, serie armonica divergente.
Dal passaggio precedente di gatto89:
"Gatto89":
Penso sia equivalente a studiare $\sum_(n=0)^(\infty)sqrt(1 + 1/n) -1$ in quanto:
$lim_(n->\infty)sin(sqrt(1 + 1/n) - 1)/(sqrt(1 + 1/n) -1) =$ (ponendo $x = sqrt(1 + 1/n) -1$) $= lim_(x->0)sinx/x = 1$
La serie è questa: $\sum_(n=0)^(\infty)sqrt(1 + 1/n) -1$. Il termine generale si riconduce a $1/n$, serie armonica divergente.
Rieccomi, avevo un attimo perso di vista il topic...
$lim_(n->\infty)(sqrt(1 + 1/n)-1)/(1/n) = lim_(n->\infty)(n(1 + 1/n-1))/(sqrt(1+1/n)+1) = 1/2$
Quindi puoi dire che $sqrt(1 + 1/n)-1$ è asintoticamente equivalente a $1/(2n)$.
Questa è un pò diversa dalla serie armonica, quindi non sono sicuro che diverga... idee?
$lim_(n->\infty)(sqrt(1 + 1/n)-1)/(1/n) = lim_(n->\infty)(n(1 + 1/n-1))/(sqrt(1+1/n)+1) = 1/2$
Quindi puoi dire che $sqrt(1 + 1/n)-1$ è asintoticamente equivalente a $1/(2n)$.
Questa è un pò diversa dalla serie armonica, quindi non sono sicuro che diverga... idee?
Confrontando secondo il tuo metodo, vediamo che le serie hanno entrambe lo stesso carattere, poichè, per il criterio del confronto, se esiste il limite del rapporto tra le due serie finito e diverso da 0, allora hanno lo stesso carattere, in questo caso divergente.
Anche se la serie è asintotica a $1/(2n)$, ciò che non toglie che sia divergente, infatti $1/(2n)$ ha lo stesso carattere di $1/n$.
Anche se la serie è asintotica a $1/(2n)$, ciò che non toglie che sia divergente, infatti $1/(2n)$ ha lo stesso carattere di $1/n$.
"Albertus16":
Confrontando secondo il tuo metodo, vediamo che le serie hanno entrambe lo stesso carattere, poichè, per il criterio del confronto, se esiste il limite del rapporto tra le due serie finito e diverso da 0, allora hanno lo stesso carattere, in questo caso divergente.
Ok, questo sinceramente lo ignoravo
Eheheh
"Gatto89":
[quote="Albertus16"]Confrontando secondo il tuo metodo, vediamo che le serie hanno entrambe lo stesso carattere, poichè, per il criterio del confronto, se esiste il limite del rapporto tra le due serie finito e diverso da 0, allora hanno lo stesso carattere, in questo caso divergente.
Ok, questo sinceramente lo ignoravo
[/quote]anch'io
A me risulta che:
per il criterio del confronto, se esiste il limite del rapporto tra i termini generali delle due serie finito e diverso da 0, allora hanno lo stesso carattere
Comunque possiamo concedere le attenuanti generiche. Eheheh
Grazie per la precisazione, gentile moderatore!
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