Studio serie

[gennarosdc]

Qualcuno mi sa aiutare per lo studio di questa serie ?
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{log(n)}{n^4-n-1} \)

non riesco a trovare nessuno criterio valido da poter applicare..

[Noisemaker]

se non conosci il risultato generale

\begin{align*}
\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^{\alpha}\ln^{\beta}n} =\begin{cases} \mbox{per}\,\,\alpha>1\,\,\mbox{e}\,\,\forall\,\, \beta, & \mbox{Converge }\\
\mbox{per }\,\,\alpha=1\,\,\mbox{e per }\,\, \beta>1, & \mbox{Converge }\\
\mbox{per}\,\,\alpha<1\,\,\mbox{e}\,\,\forall\,\, \beta, & \mbox{Diverge }\\
\mbox{per }\,\,\alpha=1\,\,\mbox{e per }\,\, \beta\le1, & \mbox{Diverge }
\end{cases}
\end{align*}
puoi applicare il criterio di Condensazione di Cauchy, ossia anzichè considerare la serie data considera, opportunamente, la serie
\[\sum 2^n a_{2n},\]
ossia
\[\sum \frac{\ln n}{n^4-n-1}\sim\sum \frac{\ln n}{n^4}\stackrel{Cauchy}{=}\sum 2^n\cdot\frac{\ln 2^n}{2^{4n}}\]

[gugo82]

Dato che \(\log x\leq x-1\) (concavità del logaritmo) si ha \(\log n \leq n-1\) da cui:
\[
\frac{\log n}{n^4-n-1}\leq \frac{n-1}{n^4-n-1} \sim \frac{1}{n^3}\; .
\]
Pertanto la serie assegnata converge per confronto e confronto asintotico.

[gennarosdc]

"Noisemaker":
puoi applicare il criterio di Condensazione di Cauchy, ossia anzichè considerare la serie data considera, opportunamente, la serie
\[ \sum 2^n a_{2n}, \]
ossia
\[ \sum \frac{\ln n}{n^4-n-1}\sim\sum \frac{\ln n}{n^4}\stackrel{Cauchy}{=}\sum 2^n\cdot\frac{\ln 2^n}{2^{4n}} \]

fin qui mi trovo poi semplificando viene \(\displaystyle \sum \frac{\ln 2^n}{2^{3n}} \) ora come potrei continuare?

[gugo82]

Proprietà del logaritmo e criterio dell'ordine di infinitesimo.

[gennarosdc]

"gugo82":Proprietà del logaritmo e criterio dell'ordine di infinitesimo.

svolgendo mi trovo che converge
una domanda.. ma il criterio dell'ordine di infinitesimo non si poteva applicare già dalla serie di partenza confrontandola con \(\displaystyle n^4 \) ?