Studio segno a 2 variabili
Ciao a tutti, secondo voi ho fatto bene questo studio di segno di funzione a 2 variabili?
La funzione è $(x^2-4)(x^2-y^2-1)$
Questo è il grafico:
La funzione è $(x^2-4)(x^2-y^2-1)$
Questo è il grafico:
Risposte
E' venuto così anche a me.
Mi sembrava di aver letto un post identico in cui si indicavano anche i punti critici e se ne doveva studiare la natura, ma ora non lo trovo. Era un tuo post e hai preferito sostituirlo con questo?
Se ti va possiamo confrontarci anche sui punti critici.
Mi sembrava di aver letto un post identico in cui si indicavano anche i punti critici e se ne doveva studiare la natura, ma ora non lo trovo. Era un tuo post e hai preferito sostituirlo con questo?
Se ti va possiamo confrontarci anche sui punti critici.
si, infatti; avevo inserito un post con un problemino con i punti critici ma per non fare "figuracce" ho preferito postare i passaggi poco alla volta per vedere se ho commesso errori...ora sono a lavoro...più tardi posto il seguito dell'esercizio...grazie per la risposta.
p.s. : comunque l'esercizio consiste nella determinazione di massimi e minimi...io l'ho fatto secondo il determinante hessiano e secondo il segno della funzione ma qlcs non andava, perchè non combaciavano i risultati finali.
p.s. : comunque l'esercizio consiste nella determinazione di massimi e minimi...io l'ho fatto secondo il determinante hessiano e secondo il segno della funzione ma qlcs non andava, perchè non combaciavano i risultati finali.
Già ricordo di averlo notato. Per le figuracce in matematica non ti preoccupare: io ne faccio a carriolate!
Ciao, eccomi tornato:
I punti critici mi vengono: $A=(0,0)$; $B=(2,sqrt(3))$; $C=(2,-sqrt(3))$; $D=(-2,sqrt(3))$; $E=(-2,-sqrt(3))$; $F=(sqrt(10)/2,0)$; $G=(-sqrt(10)/2,0)$; (In tutto mi vengono 7 punti critici).
Dal grafico che ho riportato posso affermare che la funzione avrà in $(0,0)$ un punto di MASSIMO perché preso un suo intorno il segno resta positivo (correggimi se sbaglio); nelle 4 intersezioni che ci sono fra l'IPERBOLE e le due RETTE avrò 4 punti di SELLA perché il segno cambia nell'intorno; nei due punti restanti $F$ e $G$ avrò punti di MINIMO sempre perché preso l'intorno il segno non cambia.
Se mi svolgo il tutto invece con il determinante hessiano vengo a trovare che il punto $A=(0,0)$ mi restituisce un punto di SELLA ($detH=-80$).
Come mai?
I punti critici mi vengono: $A=(0,0)$; $B=(2,sqrt(3))$; $C=(2,-sqrt(3))$; $D=(-2,sqrt(3))$; $E=(-2,-sqrt(3))$; $F=(sqrt(10)/2,0)$; $G=(-sqrt(10)/2,0)$; (In tutto mi vengono 7 punti critici).
Dal grafico che ho riportato posso affermare che la funzione avrà in $(0,0)$ un punto di MASSIMO perché preso un suo intorno il segno resta positivo (correggimi se sbaglio); nelle 4 intersezioni che ci sono fra l'IPERBOLE e le due RETTE avrò 4 punti di SELLA perché il segno cambia nell'intorno; nei due punti restanti $F$ e $G$ avrò punti di MINIMO sempre perché preso l'intorno il segno non cambia.
Se mi svolgo il tutto invece con il determinante hessiano vengo a trovare che il punto $A=(0,0)$ mi restituisce un punto di SELLA ($detH=-80$).
Come mai?
Ciao posto tutto il mio raginamento, così mi correggi gli errori.
Per trovare i punti critici mi calcolo le derivare parziali
$f(x;y)=(x^2-4)(x^2-y^2-1)=x^4-x^2y^2-x^2-4x^2+4y^2+4=x^4-x^2y^2+4y^2-5x^2+1$
$f_x=4x^3-2xy^2-10x=2x (2x^2-y^2-5)$
$f_y=-2xy^2+8y=2y(-xy+4)$
ora i punti critici annullano contemporaneamente le due derivate parziali, quindi mi va bene l'origine $O(0;0)$, poi vado a cercare l'insieme di punti che annulla $(2x^2-y^2-5)$
$ (2x^2-y^2-5)=0$
anche questa mi pare una iperbole
$ 2x^2-y^2=+5$
$2/5x^2-y^2/5=1$
$(x^2)/(5/2)-y^2/5=1$
quindi le intesezioni con l'asse x (cioè $y=0$), sono $P(+sqrt(5/2);0)$ e il suo simmetrico rispetto all'asse y, $P'(-sqrt(5/2);0)$
ora vediamo di annullare anche il $-xy+4$
$-yx+4=0$
$xy=4$ e questa è un iperbole che ha come asintoti gli assi cartesiani e di conseguenza per trovare i punti critici non ha senso metterla a si stema con $x=0$
possiamo solo fare il sistema con l'altra iperbole e trovo
$xy=8$
$2x^2-y^2=5$
e mi vengono dei contacci. Fino qui ti trovi?
Per trovare i punti critici mi calcolo le derivare parziali
$f(x;y)=(x^2-4)(x^2-y^2-1)=x^4-x^2y^2-x^2-4x^2+4y^2+4=x^4-x^2y^2+4y^2-5x^2+1$
$f_x=4x^3-2xy^2-10x=2x (2x^2-y^2-5)$
$f_y=-2xy^2+8y=2y(-xy+4)$
ora i punti critici annullano contemporaneamente le due derivate parziali, quindi mi va bene l'origine $O(0;0)$, poi vado a cercare l'insieme di punti che annulla $(2x^2-y^2-5)$
$ (2x^2-y^2-5)=0$
anche questa mi pare una iperbole
$ 2x^2-y^2=+5$
$2/5x^2-y^2/5=1$
$(x^2)/(5/2)-y^2/5=1$
quindi le intesezioni con l'asse x (cioè $y=0$), sono $P(+sqrt(5/2);0)$ e il suo simmetrico rispetto all'asse y, $P'(-sqrt(5/2);0)$
ora vediamo di annullare anche il $-xy+4$
$-yx+4=0$
$xy=4$ e questa è un iperbole che ha come asintoti gli assi cartesiani e di conseguenza per trovare i punti critici non ha senso metterla a si stema con $x=0$
possiamo solo fare il sistema con l'altra iperbole e trovo
$xy=8$
$2x^2-y^2=5$
e mi vengono dei contacci. Fino qui ti trovi?
"gio73":
Ciao posto tutto il mio raginamento, così mi correggi gli errori.
Per trovare i punti critici mi calcolo le derivare parziali
$f(x;y)=(x^2-4)(x^2-y^2-1)=x^4-x^2y^2-x^2-4x^2+4y^2+4=x^4-x^2y^2+4y^2-5x^2+1$
$f_x=4x^3-2xy^2-10x=2x (2x^2-y^2-5)$
$f_y=-2xy^2+8y=2y(-xy+4)$
c'è un errore...la $f_y=2y(4-x^2)$
p.s.: $sqrt(5/2)=sqrt(10)/2$ quindi già un punto compreso il punto $(0,0)$ è uguale al mio.
giusto jack
ripartiamo: le due derivate parziali sono
$f_x=4x^3-2xy^2-10x=2x(2x^2-y^2-5)$
$f_y=-2x^2y+8y=2y(4-x^2)$
a questo punto per annullare la seconda derivata parziale non abbiamo più a che fare con un'altra iperbole ma con due rette parallele una di equazione $x=2$ l'altra di equazione $x=-2$.
Riassumendo i punti critici sono:
$O(0;0)$
$F(+sqrt10/2;0)$
$F'(-sqrt10/2;0)$
poi dobbiamo fare le intersezioni tra le rette e l'ipebole $2x^2-y^2-5=0$
posto i calcoli per trovare quella nel primo quadrante così mi controlli
$x=2$
$2*4-y^2-5=0$
$y^2=8-5=3$
$y=+-sqrt3$
$A(+2;+sqrt3)$
nel IV quadrante
$B(+2;- sqrt3)$
nel III
$C(-2;-sqrt3)$
nel II
$D(-2;+sqrt3)$
Concludendo sono d'accordo con te.
ripartiamo: le due derivate parziali sono
$f_x=4x^3-2xy^2-10x=2x(2x^2-y^2-5)$
$f_y=-2x^2y+8y=2y(4-x^2)$
a questo punto per annullare la seconda derivata parziale non abbiamo più a che fare con un'altra iperbole ma con due rette parallele una di equazione $x=2$ l'altra di equazione $x=-2$.
Riassumendo i punti critici sono:
$O(0;0)$
$F(+sqrt10/2;0)$
$F'(-sqrt10/2;0)$
poi dobbiamo fare le intersezioni tra le rette e l'ipebole $2x^2-y^2-5=0$
posto i calcoli per trovare quella nel primo quadrante così mi controlli
$x=2$
$2*4-y^2-5=0$
$y^2=8-5=3$
$y=+-sqrt3$
$A(+2;+sqrt3)$
nel IV quadrante
$B(+2;- sqrt3)$
nel III
$C(-2;-sqrt3)$
nel II
$D(-2;+sqrt3)$
Concludendo sono d'accordo con te.
Grazie gio73 Sul fatto che ti vengono gli stessi punti critici sono d'accordo anche io...ma hai verificato i punti di massimo, minimo e di sella?
Ricapitoliamo (correggimi gli svarioni):
Se l'hessiano è negativo abbiamo una sella,
se l'hessiano è positivo devo controllare $f_(x x)$ se è positiva anche lei abbiamo un minimo, se è negativa un massimo
se l'hessiano è 0 devo trovare un ragionamento alternativo
Se non fatto errori mi viene:
l'origine una sella
tutti gli altri minimi
La nostra funzione vale +4 nell'origine, in accordo con lo studio del segno che avevamo fatto all'inizio. Ciò significa che lì intorno la funzione assumerà sia valori un po' più grandi di 4 sia valori un po' più piccoli di 4, ma sempre positivi.
Se l'hessiano è negativo abbiamo una sella,
se l'hessiano è positivo devo controllare $f_(x x)$ se è positiva anche lei abbiamo un minimo, se è negativa un massimo
se l'hessiano è 0 devo trovare un ragionamento alternativo
Se non fatto errori mi viene:
l'origine una sella
tutti gli altri minimi
La nostra funzione vale +4 nell'origine, in accordo con lo studio del segno che avevamo fatto all'inizio. Ciò significa che lì intorno la funzione assumerà sia valori un po' più grandi di 4 sia valori un po' più piccoli di 4, ma sempre positivi.
se il $detH<0$ abbiamo un punto di sella.
se il $detH>0 ed (partial^2 f)/(partial x^2)>0 $ abbiamo un punto di minimo.
se il $detH>0 ed (partial^2 f)/(partial x^2)<0$ abbiamo un punto di massimo.
Ma scusami, faccio bene a dire che secondo il segno che c'è nel grafico ho massimi e minimi e sella? (cioé dove è positivo sarà massimo e dove sarà negativo minimo?)
se il $detH>0 ed (partial^2 f)/(partial x^2)>0 $ abbiamo un punto di minimo.
se il $detH>0 ed (partial^2 f)/(partial x^2)<0$ abbiamo un punto di massimo.
Ma scusami, faccio bene a dire che secondo il segno che c'è nel grafico ho massimi e minimi e sella? (cioé dove è positivo sarà massimo e dove sarà negativo minimo?)
allora, io faccio così:
$detH= (partial^2 f)/(partial x^2)(partial^2 f)/(partial y^2)-((partial f)/(partial xy))^2 $
$(partial^2 f)/(partial x^2)=2(6x^2-y^2-5)$
$(partial^2 f)/(partial y^2)=2(4-x^2)$
$(partial f)/(partial xy)=-4xy$
quindi il $detH=2((6x^2-y^2-5)2(4-x^2))-(-4xy)^2$
da cui ottengo
$detH_(0,0)=-80<0$ punto di SELLA
$detH_(2,sqrt(3))=-192<0$ punto di SELLA (x4)
$detH_(sqrt(10)/2,0)=60>0$ punto di MINIMO (X2)
A questo punto quelli che mi sono trovato sono punti RELATIVI?
ed in $(0,0)$ invece ho punto di Massimo ASSOLUTO?
$detH= (partial^2 f)/(partial x^2)(partial^2 f)/(partial y^2)-((partial f)/(partial xy))^2 $
$(partial^2 f)/(partial x^2)=2(6x^2-y^2-5)$
$(partial^2 f)/(partial y^2)=2(4-x^2)$
$(partial f)/(partial xy)=-4xy$
quindi il $detH=2((6x^2-y^2-5)2(4-x^2))-(-4xy)^2$
da cui ottengo
$detH_(0,0)=-80<0$ punto di SELLA
$detH_(2,sqrt(3))=-192<0$ punto di SELLA (x4)
$detH_(sqrt(10)/2,0)=60>0$ punto di MINIMO (X2)
A questo punto quelli che mi sono trovato sono punti RELATIVI?
ed in $(0,0)$ invece ho punto di Massimo ASSOLUTO?
"jack_queen":
Ma scusami, faccio bene a dire che secondo il segno che c'è nel grafico ho massimi e minimi e sella? (cioé dove è positivo sarà massimo e dove sarà negativo minimo?)
mmm direi di no.
Proviamo a vederla con le funzioni in una variabile. Ad esempio $f(x)=x^2+4$ Il nostro punto critico che ha ascissa 0 si trova sul semiasse positivo eppure è un minimo, ugualmente $f(x)=-x^2-4$, il punto critico si trova sul semiasse negativo ed è un massimo, infine $f(x)=x^3+6$ il punto critico, un flesso, non coincide con l'origine.
"jack_queen":
$detH_(2,sqrt(3))=-192<0$ punto di SELLA (x4)
Ok, ho rifatto i conti e sono d'accordo con te, 4 selle.
Quindi in definitiva, e correggimi se sbaglio, abbiamo che :
$A=(0,0)$ è punto di MASSIMO ASSOLUTO
$B,C,D,E$ sono punti di sella
$F,G= (+- sqrt(10)/2,0)$ MINIMO ASSOLUTO.
$A=(0,0)$ è punto di MASSIMO ASSOLUTO
$B,C,D,E$ sono punti di sella
$F,G= (+- sqrt(10)/2,0)$ MINIMO ASSOLUTO.
Ma l'origine non avevamo stabilito che fosse una sella?
Poi per parlare di massimi e minimi assoluti dovremmo vedere come si comporta la funzione ai suoi estremi. Visto che è continua su tutto $R^2$ io vedrei cosa succede quando ci allontaniamo dall'origine: se da qualche parte va a $+oo$ e da qualche altra parte va a $-oo$ direi che i nostri sono massimi o minimi relativi.
Poi per parlare di massimi e minimi assoluti dovremmo vedere come si comporta la funzione ai suoi estremi. Visto che è continua su tutto $R^2$ io vedrei cosa succede quando ci allontaniamo dall'origine: se da qualche parte va a $+oo$ e da qualche altra parte va a $-oo$ direi che i nostri sono massimi o minimi relativi.
Ma il fatto che la funzione in $A=(0,0)$ è $f_(0,0)=+4$ a cosa serve?....
mah
l'ho calcolato per vedere se fosse positivo come ci aspettavamo dallo studio del segno.
l'ho calcolato per vedere se fosse positivo come ci aspettavamo dallo studio del segno.
ok...grazie mille per l'aiuto...Archiviamo questo problemino 
.
.
Prima di archiviarlo mi sento di dover controllare se i minimi trovati siano assoluti o relativi.
In entrambi i punti, se non ho sbagliato i conti per l'ennesima volta, la funzione vale $-3/4$, ora mi basta di trovare una direzione lungo la quale la funzione vada a $-oo$ e posso concludere che quei minimi sono solo minimi locali.
Per semplificarmi la vita come direzione scelgo la retta di equazione $x=4$, di conseguenza la funzione diventa
$f(4;y)=(16-4)(16-y^2-1)=12(15-y^2)$
che per $y$ che tende a $+-oo$ tende sempre a $-oo$.
Secondo te ho ragionato bene?
In entrambi i punti, se non ho sbagliato i conti per l'ennesima volta, la funzione vale $-3/4$, ora mi basta di trovare una direzione lungo la quale la funzione vada a $-oo$ e posso concludere che quei minimi sono solo minimi locali.
Per semplificarmi la vita come direzione scelgo la retta di equazione $x=4$, di conseguenza la funzione diventa
$f(4;y)=(16-4)(16-y^2-1)=12(15-y^2)$
che per $y$ che tende a $+-oo$ tende sempre a $-oo$.
Secondo te ho ragionato bene?
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