Studio qualitativo problema di cauchy

[Renton92]

$ { x'(t)=1-e^(x^2-1) ,x(0)=\alpha $}
dire per quali valori di $\alpha in RR$ il problema ammette soluzione unica, la soluzione è monotona crescente, la soluzione è monotona decrescente; studiare qualitativamente le soluzione del problema.
allora per stabilire per quali valori di alfa la soluzione è unica , per il teorema di cauchy- liepschitz , bisognerebbe trovare i valori di alfa per il quale la derivata della funzione $f=1-e^(x^2-1)$ ammette derivata rispetto a x continua no?perciò la risposta è tutti i valori di alfa? per quanto riguarda gli altri quesiti devo vedere dove $x' = 1-e^(x^2-1)$ è maggiore di zero o minore di zero? in definitiva sarebbe questo lo studio qualitativo?

[gugo82]

Beh, grossomodo sì... Tutto si riduce più o meno sempre a quello, a determinare l'intervallo di definizione delle soluzioni massimali, gli eventuali asintoti delle stesse, e la loro convessità/concavità.

Maggiori informazioni le trovi nel capitolo 4 delle dispense segnalate qui.