Studio qualitativo equazione differenziale
Ciao a tutti,
mi piacerebbe avere la vostra opinione riguardo lo studio qualitativo della seguente equazione differenziale:
\[ y'(x) = \log (1 - \sqrt{\mid y(x) \mid} ) \]
In particolare, mi interesserebbero le vostre opinioni riguardo al mio problema, che consiste nello stabilire l'insieme di condizioni iniziali per cui la soluzione esiste ed è unica, sia localmente che globalmente.
Grazie a tutti.
mi piacerebbe avere la vostra opinione riguardo lo studio qualitativo della seguente equazione differenziale:
\[ y'(x) = \log (1 - \sqrt{\mid y(x) \mid} ) \]
In particolare, mi interesserebbero le vostre opinioni riguardo al mio problema, che consiste nello stabilire l'insieme di condizioni iniziali per cui la soluzione esiste ed è unica, sia localmente che globalmente.
Grazie a tutti.
Risposte
L'equazione è sempre unica. Le soluzioni possono non esserlo... 
Ad ogni modo, ti basta determinare i punti in cui la funzione \(f(y):=\log (1-\sqrt{|y|})\) è lipschitziana per l'unicità locale.
Ad ogni modo, ti basta determinare i punti in cui la funzione \(f(y):=\log (1-\sqrt{|y|})\) è lipschitziana per l'unicità locale.
Hai ragione, solo le soluzioni possono o meno essere uniche 
(ho prontamente corretto la svista).
In ogni caso, piuttosto che valutare in modo esplicito la lipschitzianità per l'unicità locale, non conviene determinare i punti per i quali sia la \( f(y) \) che la \( f_y(y) \) sono continue?
(ho prontamente corretto la svista).In ogni caso, piuttosto che valutare in modo esplicito la lipschitzianità per l'unicità locale, non conviene determinare i punti per i quali sia la \( f(y) \) che la \( f_y(y) \) sono continue?
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