Studio qualitativo equazione differenziale

[Lebesgue]

Ciao a tutti, stavo studiando l'andamento qualitativo delle soluzioni del seguente problema di cauchy:
\begin{cases} x'(t) = \arctan(tx) \\ x(0) = a > 0 \end{cases}

In particolare, si vede che se $x(t)$ è soluzione del problema, anche $x(-t)$ è soluzione del problema, dunque la funzione è pari, per cui studio cosa succede per tempi positivi.

Essendo $|\arctan(s)| \le \pi/2$, ho che la soluzione ha esistenza globale, per cui calcolo il $\lim_(t \to +\infty) x(t)$.
Tale limite esiste per monotonia (la soluzione sarà monotona crescente nel primo quadrante) dunque, detto $l = \lim_(t \to +1\infty) x(t)$, ho che $l \in [a, +\infty]$
Per il teorema dell'asintoto, sicuramente $l$ non può essere finito, ma non capisco perché ciò mi implichi che necessariamente si debba avere $ l = +\infty$, infatti se fosse $l = +\infty$, allora avrei che

$\lim_(t \to +\infty) x'(t) = \lim_(t \to +\infty) \arctan(t x) = arctan(+\infty) = \pi/2 $

contraddicendo comunque il teorema dell'asintoto... c'è qualcosa che mi sfugge?

[Quinzio]

IL teorema dell'asintoto non si puo' applicare in questo caso perche'il teorema presuppone che tu conosca a priori il limite della funzione e della derivata, ma qui non sai il limite della funzione, e' proprio quello che vuoi scoprire.
https://matematica.fandom.com/it/wiki/T ... 27asintoto

[Lebesgue]

"Quinzio":IL teorema dell'asintoto non si puo' applicare in questo caso perche'il teorema presuppone che tu conosca a priori il limite della funzione e della derivata, ma qui non sai il limite della funzione, e' proprio quello che vuoi scoprire.
https://matematica.fandom.com/it/wiki/T ... 27asintoto

Ho capito l'inghippo: io ho che sicuramente esiste (per monotonia) il limite della soluzione: $\lim_(t \to +\infty) x(t) = l \in [a, +\infty]$.

Tale limite non può essere finito, altrimenti contraddirebbe il teorema dell'asintoto, dunque necessariamente deve essere $l = +\infty$

Praticamente io avevo inconsciamente indebolito le ipotesi, richiedendo solamente che esistesse il limite della soluzione, non che questo fosse anche finito.