Studio qualitativo equazione differenziale
Buonasera ragazzi, avrei un problema con la risoluzione di questo esercizio:
Sia y la soluzione massimale del problema di Cauchy
$ y' = y/(x^2+y^2-1) $
con $ y(0) = c, 0
1) Provare che $ y>0 $ in $ (a,b) $.
2) Provare che y è decrescente in $ (a,b) $.
3) Provare che $ -1 a $ e sodisfa $ a^2+l^2 = 1 $ .
4) Provare che $ b=1 $ e che $ y(x) =0 $ per $ x->b $ .
Per quanto riguarda il punto 2 ho studiato y':
$ y/(x^2+y^2-1)>=0 $ cioè,
$ y<=-(1-x^2)^(1/2) ^^ y>= (1-x^2)^(1/2) $ e $ y>=0 $ ,di conseguenza :
$ y'>=0 $ (cioè è crescente) se e solo se $ -(1-x^2)^(1/2)<=y<=0 ^^ y>=(1-x^2)^(1/2) $ .
Dal momento che $ y(0) = c$ e che $0
Adesso per il primo punto credo che basterà provare che f(b) sia maggiore di zero ma non ho idea di come fare. Gli ultimi due punti sono qualcosa di oscuro per me, qualcuno potrebbe suggerisrmi qualche idea o una linea di lavoro? Grazie in anticipo e buona serata!
Sia y la soluzione massimale del problema di Cauchy
$ y' = y/(x^2+y^2-1) $
con $ y(0) = c, 0
1) Provare che $ y>0 $ in $ (a,b) $.
2) Provare che y è decrescente in $ (a,b) $.
3) Provare che $ -1
4) Provare che $ b=1 $ e che $ y(x) =0 $ per $ x->b $ .
Per quanto riguarda il punto 2 ho studiato y':
$ y/(x^2+y^2-1)>=0 $ cioè,
$ y<=-(1-x^2)^(1/2) ^^ y>= (1-x^2)^(1/2) $ e $ y>=0 $ ,di conseguenza :
$ y'>=0 $ (cioè è crescente) se e solo se $ -(1-x^2)^(1/2)<=y<=0 ^^ y>=(1-x^2)^(1/2) $ .
Dal momento che $ y(0) = c$ e che $0
Adesso per il primo punto credo che basterà provare che f(b) sia maggiore di zero ma non ho idea di come fare. Gli ultimi due punti sono qualcosa di oscuro per me, qualcuno potrebbe suggerisrmi qualche idea o una linea di lavoro? Grazie in anticipo e buona serata!
Risposte
Fin qui sta bene?
Mica tanto... Sostituendo hai solo verificato che $y(0)=c$ sta in una delle due zone di decrescenza, dunque, per continuità, che $y(x)$ cade in quella zona per $x$ intorno a $0$.
Ma nessuno ti assicura, in linea di principio, che tale permanenza sia verificata ovunque nell’intervallo massimale di definizione.
mhhh.. quindi dovrei studiare la derivata seconda?
Problema di Cauchy
$[(dy)/(dx)=f(x,y)] ^^ [y(x_0)=y_0]$
Ipotesi
$[A sub RR^2$ aperto$] ^^ [f : A rarr RR] ^^ [f in C^1(A)] ^^ [(x_0,y_0) in A]$
Tesi
$y=y(x)$ soluzione unica
Nel caso in esame:
$[f(x,y)=y/(x^2+y^2-1)] ^^ [y(0)=c] ^^ [0 lt c lt 1]$
Poichè $f(x,y)$ soddisfa le ipotesi all'interno del cerchio centrato nell'origine e di raggio unitario:
$x^2+y^2-1 lt 0$
la soluzione è necessariamente unica. Inoltre, poichè $[y=0]$ soddisfa l'equazione differenziale, la soluzione in esame non può attraversare l'asse delle ascisse, da $[y gt 0]$ a $[y lt 0]$, senza contraddire il teorema di unicità. In definitiva:
$AA x in (a,b) : y gt 0$
$AA x in (a,b) : [y gt 0] ^^ [x^2+y^2-1 lt 0] rarr [(dy)/(dx)=y/(x^2+y^2-1) lt 0]$
"Keyzan":
mhhh.. quindi dovrei studiare la derivata seconda?
Quello che non dovresti fare è “tirare ad indovinare”.
Per comprendere come muoversi c’è bisogno di conoscere bene la teoria e di aver visto qualche esercizio svolto.
Ti consiglio vivamente di studiare queste dispense, in particolare le pagg. 40-59 e 99-106.
Buona lettura.
Grazie mille!!
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