Studio qualitativo eq.differenziale
ho $y^{\prime}=sin(ty)$ e devo farne uno studio qualitativo
$f(t,y)=sin(t,y)$
$f in C^(oo)(R^2)$ esiste ed è unica la soluzione $phi$
$|f(t,y)|<=1$ crescita meno che lineare e quindi posso prolungare $phi$ a tutto $R$
$phi$ ha una doppia simmetria (pari e dispari) e quindi posso limitate lo studio per $t,y>0$
le soluzioni stazionarie $\Omega_0={(t,y): sin(ty)=0}={$assi coordinati$}U{(t,y): ty=kpi, k in Z}$
segno $y^{\prime}$: $\Omega_+={(t,y): 2kpi
associo l'equazione al problema di Cauchy (PC): $ { ( y'=sin(ty) ),( y(0)=xi ):} $ con $\xi >0$
ora non so come andare avanti, devo calcolare la derivata seconda?
$f(t,y)=sin(t,y)$
$f in C^(oo)(R^2)$ esiste ed è unica la soluzione $phi$
$|f(t,y)|<=1$ crescita meno che lineare e quindi posso prolungare $phi$ a tutto $R$
$phi$ ha una doppia simmetria (pari e dispari) e quindi posso limitate lo studio per $t,y>0$
le soluzioni stazionarie $\Omega_0={(t,y): sin(ty)=0}={$assi coordinati$}U{(t,y): ty=kpi, k in Z}$
segno $y^{\prime}$: $\Omega_+={(t,y): 2kpi
associo l'equazione al problema di Cauchy (PC): $ { ( y'=sin(ty) ),( y(0)=xi ):} $ con $\xi >0$
ora non so come andare avanti, devo calcolare la derivata seconda?
Risposte
Potresti aggiungere quanto segue.
Di soluzioni stazionarie c'è solo \(y^*(t)=0\), evidentemente, ed ogni altra soluzione massimale della EDO non può attraversare il grafico di \(y^*\) (cioè l'asse delle ascisse).
Le soluzioni massimali della EDO sono pari: infatti, posto \(z(t):=y(-t)\) con \(y\) massimale, si trova:
\[
z^\prime (t)=-y^\prime (-t)=-\sin (-t\ y(-t))=\sin (t\ z(t))
\]
e, dato che \(z(0)=y(0)\), si ha \(z(t)=y(t)\) per unicità globale cosicché \(y(-t)=y(t)\).
Per la derivata seconda, hai:
\[
y^{\prime \prime} (t) = \cos (t\ y(t))\ (y(t)+t\ y^\prime (t))=\cos (t\ y(t))\ [y(t)+t\ \sin (t\ y (t))]
\]
quindi \(y^{\prime \prime} (0)>0\) o \(y^{\prime \prime} (0)<0\) a seconda che \(y(0)>0\) o \(y(0)<0\); perciò le soluzioni massimali che vivono sopra [risp. sotto] la soluzione stazionaria \(y^*\) hanno in \(0\) un minimo [risp. massimo] relativo, essendo convesse [risp. concave] intorno a \(0\).
Inoltre, credo si possa dire che le soluzioni oscillino indefinitamente intorno a \(\pm \infty\), però si deve provare che esse tagliano tutte le iperboli della famiglia d'equazione \(y=\frac{k\pi}{t}\).
Inoltre, sarebbe interessante cercare di vedere se le soluzioni hanno come asintoto la soluzione stanzionaria per \(t\to \pm \infty\).
Di soluzioni stazionarie c'è solo \(y^*(t)=0\), evidentemente, ed ogni altra soluzione massimale della EDO non può attraversare il grafico di \(y^*\) (cioè l'asse delle ascisse).
Le soluzioni massimali della EDO sono pari: infatti, posto \(z(t):=y(-t)\) con \(y\) massimale, si trova:
\[
z^\prime (t)=-y^\prime (-t)=-\sin (-t\ y(-t))=\sin (t\ z(t))
\]
e, dato che \(z(0)=y(0)\), si ha \(z(t)=y(t)\) per unicità globale cosicché \(y(-t)=y(t)\).
Per la derivata seconda, hai:
\[
y^{\prime \prime} (t) = \cos (t\ y(t))\ (y(t)+t\ y^\prime (t))=\cos (t\ y(t))\ [y(t)+t\ \sin (t\ y (t))]
\]
quindi \(y^{\prime \prime} (0)>0\) o \(y^{\prime \prime} (0)<0\) a seconda che \(y(0)>0\) o \(y(0)<0\); perciò le soluzioni massimali che vivono sopra [risp. sotto] la soluzione stazionaria \(y^*\) hanno in \(0\) un minimo [risp. massimo] relativo, essendo convesse [risp. concave] intorno a \(0\).
Inoltre, credo si possa dire che le soluzioni oscillino indefinitamente intorno a \(\pm \infty\), però si deve provare che esse tagliano tutte le iperboli della famiglia d'equazione \(y=\frac{k\pi}{t}\).
Inoltre, sarebbe interessante cercare di vedere se le soluzioni hanno come asintoto la soluzione stanzionaria per \(t\to \pm \infty\).
"gugo82":
Potresti aggiungere quanto segue.
Inoltre, credo si possa dire che le soluzioni oscillino indefinitamente intorno a \(\pm \infty\), però si deve provare che esse tagliano tutte le iperboli della famiglia d'equazione \(y=\frac{k\pi}{t}\).
Inoltre, sarebbe interessante cercare di vedere se le soluzioni hanno come asintoto la soluzione stanzionaria per \(t\to \pm \infty\).
devo verificare $lim_(t->+oo) y(t)=0$?
sulle iperboli posso avere punti di massimo o di minimo( tra un'iperbole e l'altra il segno della derivata prima cambia)?
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