Studio qualitativo di un problema di Cauchy..suggerimenti?
Ciao a tutti, la cosa piu' ostica per me nello studio delle equazioni differenziali riguarda lo studio qualitativo. Di fronte a questo esercizio so fare pochissimo. Aiutatemi per favore.
Mi si chiede all'esame e di come si svolge ho capito poco.
Sia dato il problema di Cauchy $ { ( y'(x)=x(\pi/3-\arctan(y(x))) ),( y(0)=1 ):} $
Dopo aver dimostrato che ammette un'unica soluzione $ varphi $ definita su tutto $RR$
1. Si dimostri che esistono i limiti $ lim_(x\to \pm \infty)varphi (x) $ e li si calcoli
2. Si discuta l'esistenza di punti di flesso di $ varphi $
allora ho provato a risolvere cosi
va be' ammette un'unica soluzione poiche' $ f(x,y)\in C^(\infty)(RR) $ quindi per il teorema esiste un'unica soluzione
per il punto 1
so solamente dire questa cosa, le soluzioni stazionarie $ \pi/3-\arctan(y(x))=0\to y(x)=sqrt(3) $
e poi che $ lim_(x\to \pm \infty) y'(x)=\pm \infty $
e poi che $ \pi/3-\arctan(y(x))>0\to y(x)
poi boh, non so dire nulla di piu'. Qualcuno ha qualche idea? o suggerimento..
Mi si chiede all'esame e di come si svolge ho capito poco.
Sia dato il problema di Cauchy $ { ( y'(x)=x(\pi/3-\arctan(y(x))) ),( y(0)=1 ):} $
Dopo aver dimostrato che ammette un'unica soluzione $ varphi $ definita su tutto $RR$
1. Si dimostri che esistono i limiti $ lim_(x\to \pm \infty)varphi (x) $ e li si calcoli
2. Si discuta l'esistenza di punti di flesso di $ varphi $
allora ho provato a risolvere cosi
va be' ammette un'unica soluzione poiche' $ f(x,y)\in C^(\infty)(RR) $ quindi per il teorema esiste un'unica soluzione
per il punto 1
so solamente dire questa cosa, le soluzioni stazionarie $ \pi/3-\arctan(y(x))=0\to y(x)=sqrt(3) $
e poi che $ lim_(x\to \pm \infty) y'(x)=\pm \infty $
e poi che $ \pi/3-\arctan(y(x))>0\to y(x)
poi boh, non so dire nulla di piu'. Qualcuno ha qualche idea? o suggerimento..
Risposte
premetto che neanche io sono un grande esperto di questo argomento,ma mi sembra di poter dire che la funzione ha un minimo assoluto nel punto $x=0$, ha come asintoto orizzontale la retta $y=sqrt3$(per l'unicità delle soluzioni non può essere intersecata) e di conseguenza ha un punto di flesso di ascissa positiva ed uno di ascissa negativa
"porzio":
premetto che neanche io sono un grande esperto di questo argomento,ma mi sembra di poter dire che la funzione ha un minimo assoluto nel punto $x=0$, ha come asintoto orizzontale la retta $y=sqrt3$(per l'unicità delle soluzioni non può essere intersecata) e di conseguenza ha un punto di flesso di ascissa positiva ed uno di ascissa negativa
deduci che $x=0$ e' un minimo assoluto facendo lo studio del segno?..oppure da cosa lo deduci?
e OK per l'asintoto orizzontale $y=\sqrt(3)$, che sono le soluzioni stazionarie, e ok con quello che dici, sul fatto che non possono essere intersecate..
quindi per rispondere alla domanda 1, dico che $ \lim_(x\to +\infty) varphi (x)=\sqrt(3) $ ? oppure e' sbagliato?
pero' attenzione che $ y'(x)\to -\infty $ per $x\to +\infty$
quindi non so dire nulla..
scusa,ma da cosa evinci quella conclusione su $y'(x)$ ? ; la retta $y=sqrt(3)$ è asintoto orizzontale anche per $x rarr -infty$,per lo stesso motivo per il quale lo è a $+infty$
ho dedotto che $x=0$ è un punto di minimo dal fatto che $y'(0)=0$,$y'(x)<0$ per $x<0$ ed $y'(x)>0$ per $x>0$
ho dedotto che $x=0$ è un punto di minimo dal fatto che $y'(0)=0$,$y'(x)<0$ per $x<0$ ed $y'(x)>0$ per $x>0$
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