Studio qualitativo di un problema di Cauchy: concavità della soluzione
$\{(y'=(y^2-y) arctan(t)) , (y(0)=1/2):}$
per completezza riporto i risultati che ho ottenuto dallo studio qualitativo, dato il confronto che ho effettuato con la soluzione ricavata per separazione della variabili, credo siano corretti:
soluzioni stazionarie: le rette $y=0$ e $y=1$, data la condizione iniziale la soluzione è interna a queste due rette.
$f(t,y)$ dell'equazione differenziale è continua in tutto il suo dominio, che è $RR$, tale è anche la sua derivata parziale rispetto a $y$, inoltre la soluzione è limitata; da ciò la soluzione esiste ed è unica in un intorno di 0, ed è prolungabile a tutto $RR$.
Dallo studio della monotonia della derivata si ha che la soluzione è decrescente per $t>0$, e crescente per $t<0$.
il punto della condizione iniziale è di massimo, da ciò la soluzione è t.c. $0
Essendo la derivata dispari, il massimo in $t=0$, gli asintoti orizzontali simmetrici, deduco che la soluzione sia pari.
----
Vado ora in difficoltà con lo studio della concavità, calcolo la derivata seconda:
$y^('')=(y^2-y) (arctan(t)^2 (2y-1) (1+t^2)+1)/(1+t^2)$
cercando gli eventuali punti di flesso, la pongo uguale a 0, tale condizione si verifica solo se è nullo il numeratore della frazione a fattore, che riscrivo a parte:
$y= 1/2 (1- 1/arctan(t)^2 (1+t^2))$
data la condizione $0
ho quindi trovato due punti flesso, in $t=+-t_(fl)$
da ciò, ed essendo la soluzione pari, e concava nel punto di massimo in $t_0$, si conclude che la soluzione è concava per $t in (-t_(fl),t_(fl))$, e convessa per $t<-t_(fl)$ e $t>t_(fl)$
---
il problema (almeno l'unico di cui mi sia finora reso conto) è nel passaggio che ho segnato con gli asterischi rossi, tramite stime grossolane e le proprietà che ho riportato, ho dedotto che tale $t_(fl)$ esista, e ho visto questo verificarsi guardando il grafico della soluzione che ho ricavato con la separazione delle variabili, la soluzione è una campana centrata in 0, che ha quindi due punti di flesso.
$y(t)= (sqrt(t^2+1))/(sqrt(t^2+1)+e^(t*arctan(t))$
ma non devo utilizzare la soluzione esatta, devo riuscirci tramite considerazioni qualitative, e non credo che ciò che ho scritto in precedenza dimostri l'esistenza di quei due punti di flesso.
per completezza riporto i risultati che ho ottenuto dallo studio qualitativo, dato il confronto che ho effettuato con la soluzione ricavata per separazione della variabili, credo siano corretti:
soluzioni stazionarie: le rette $y=0$ e $y=1$, data la condizione iniziale la soluzione è interna a queste due rette.
$f(t,y)$ dell'equazione differenziale è continua in tutto il suo dominio, che è $RR$, tale è anche la sua derivata parziale rispetto a $y$, inoltre la soluzione è limitata; da ciò la soluzione esiste ed è unica in un intorno di 0, ed è prolungabile a tutto $RR$.
Dallo studio della monotonia della derivata si ha che la soluzione è decrescente per $t>0$, e crescente per $t<0$.
il punto della condizione iniziale è di massimo, da ciò la soluzione è t.c. $0
Essendo la derivata dispari, il massimo in $t=0$, gli asintoti orizzontali simmetrici, deduco che la soluzione sia pari.
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Vado ora in difficoltà con lo studio della concavità, calcolo la derivata seconda:
$y^('')=(y^2-y) (arctan(t)^2 (2y-1) (1+t^2)+1)/(1+t^2)$
cercando gli eventuali punti di flesso, la pongo uguale a 0, tale condizione si verifica solo se è nullo il numeratore della frazione a fattore, che riscrivo a parte:
$y= 1/2 (1- 1/arctan(t)^2 (1+t^2))$
data la condizione $0
ho quindi trovato due punti flesso, in $t=+-t_(fl)$
da ciò, ed essendo la soluzione pari, e concava nel punto di massimo in $t_0$, si conclude che la soluzione è concava per $t in (-t_(fl),t_(fl))$, e convessa per $t<-t_(fl)$ e $t>t_(fl)$
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il problema (almeno l'unico di cui mi sia finora reso conto) è nel passaggio che ho segnato con gli asterischi rossi, tramite stime grossolane e le proprietà che ho riportato, ho dedotto che tale $t_(fl)$ esista, e ho visto questo verificarsi guardando il grafico della soluzione che ho ricavato con la separazione delle variabili, la soluzione è una campana centrata in 0, che ha quindi due punti di flesso.
$y(t)= (sqrt(t^2+1))/(sqrt(t^2+1)+e^(t*arctan(t))$
ma non devo utilizzare la soluzione esatta, devo riuscirci tramite considerazioni qualitative, e non credo che ciò che ho scritto in precedenza dimostri l'esistenza di quei due punti di flesso.
Risposte
Complimenti, mi piace come affronti il problema. Prima di tutto una domanda: come dimostri che la soluzione tende a 0 per \(t\to \pm \infty \)?
"dissonance":
Complimenti, mi piace come affronti il problema. Prima di tutto una domanda: come dimostri che la soluzione tende a 0 per \(t\to \pm \infty \)?
Per com'è messa la faccenda, la soluzione massimale è definita in tutto $RR$, è pari ed è strettamente decrescente [risp. crescente] in $[0,+oo[$ [risp. $]-oo,0]$]; pertanto essa è regolare in $+-oo$ ed il teorema dell'asintoto assicura che il suo limite $l$ in $+-oo$ è uno zero del secondo membro della EDO. Tale zero non può essere $1$, ergo $l=0$.
La derivata seconda è data da:
\[
y^{\prime \prime} (t) = (y^2 (t) - y(t)) \frac{\arctan^2 (t) (2y(t)-1) (1+t^2)+1}{1+t^2}
\]
ed essa è pari; dunque basta capire ciò che accade in $[0,+oo[$. Visto che $y^2(t) - y(t) <0$ abbiamo $y^('')(t) >= 0$ se e solo se:
\[
\arctan^2 (t) (2y(t)-1) (1+t^2)+1 \leq 0 \quad \Leftrightarrow \quad y(t) \leq \frac{1}{2}\ \left( 1 - \frac{1}{(1+t^2)\ \arctan^2 t}\right)\; .
\]
La funzione a secondo membro nell'ultima disuguaglianza tende a $1/2$ all' infinito, rimanendo sempre minore di tale valore; d'altra parte essa è strettamente monotona, così come $y(t)$, e ciò assicura che il punto di contatto $t_f$ tra i due diagrammi è unico in $]0,+oo[$ e che $y^('')$ è non positiva in $[0,t_f]$ e non negativa in $[t_f,+oo[$.
Dunque, $y(t)$ è strettamente concava in $[-t_f, t_f]$ e strettamente convessa nei due intervalli rimanenti.
"dissonance":
Complimenti, mi piace come affronti il problema. Prima di tutto una domanda: come dimostri che la soluzione tende a 0 per \(t\to \pm \infty \)?
grazie per i complimenti
Sto adorando la matematica provando a studiarla in questo modo, sono estasiato dall'assoluto rigore logico, la assoluta perfezione di un formalismo pienamente coerente e dalla potenza apparentemente illimitata.
Rispondo alla domanda:
Essendo la soluzione limitata (in quanto limitata inferiormente dalla retta $y=0$ per l'unicità della soluzione, e limitata superiormente dal punto di massimo positivo in $t=0$), si può applicare ciò che ho visto denominato "teorema dell'asintoto".
per $t\to \pm \infty $ la soluzione deve tendere a un $l \ $ t.c.$ \ 0<=l<=1/2$, tale condizione si verifica solo se il limite per $t\to \pm \infty $ della derivata prima è nullo.
$\lim_{t \to \+infty}y'(t)=\lim_{t \to \+infty}(y(t)^2-y(t)) arctan(t)=0 $
Essendo $\lim_{t \to \+infty}arctan(t)=pi/2$ , allora si deve avere:
$\lim_{t \to \+infty}y(t)^2-y(t)=0 rArr \lim_{t \to \+infty}y(t)=0 $
Da cui la retta $y=0$ come asintoto orizzontale per $t \to \+infty$; e anche per $t \to \-infty$ data la parità della soluzione.
Ok, allora una volta stabilito questo puoi usare il teorema degli zeri per dimostrare che \(y''(t)\) si annulla in un punto solo su \(t\in[0,\infty)\), che poi è quello che ha fatto Gugo nel suo post. Lo zero negativo te lo da la simmetria.
Io veramente avrei fatto dall'inizio dell'esercizio una considerazione di simmetria: visto che la soluzione è pari è sufficiente studiarla per \(t\ge 0\). Anche tu hai fatto questa considerazione ma non è chiaro come, e poi non la hai usata.
Per dimostrare rigorosamente che la soluzione è pari bisogna mostrare che, se \(y\) è una soluzione del problema di Cauchy, allora \(\tilde y(t):=y(-t)\) è anch'essa una soluzione e che verifica la stessa condizione iniziale.
Io veramente avrei fatto dall'inizio dell'esercizio una considerazione di simmetria: visto che la soluzione è pari è sufficiente studiarla per \(t\ge 0\). Anche tu hai fatto questa considerazione ma non è chiaro come, e poi non la hai usata.
Per dimostrare rigorosamente che la soluzione è pari bisogna mostrare che, se \(y\) è una soluzione del problema di Cauchy, allora \(\tilde y(t):=y(-t)\) è anch'essa una soluzione e che verifica la stessa condizione iniziale.
"gugo82":
[quote="dissonance"]Complimenti, mi piace come affronti il problema. Prima di tutto una domanda: come dimostri che la soluzione tende a 0 per \(t\to \pm \infty \)?
Per com'è messa la faccenda, la soluzione massimale è definita in tutto $RR$, è pari ed è strettamente decrescente [risp. crescente] in $[0,+oo[$ [risp. $]-oo,0]$]; pertanto essa è regolare in $+-oo$ ed il teorema dell'asintoto assicura che il suo limite $l$ in $+-oo$ è uno zero del secondo membro della EDO. Tale zero non può essere $1$, ergo $l=0$.
La derivata seconda è data da:
\[
y^{\prime \prime} (t) = (y^2 (t) - y(t)) \frac{\arctan^2 (t) (2y(t)-1) (1+t^2)+1}{1+t^2}
\]
ed essa è pari; dunque basta capire ciò che accade in $[0,+oo[$. Visto che $y^2(t) - y(t) <0$ abbiamo $y^('')(t) >= 0$ se e solo se:
\[
\arctan^2 (t) (2y(t)-1) (1+t^2)+1 \leq 0 \quad \Leftrightarrow \quad y(t) \leq \frac{1}{2}\ \left( 1 - \frac{1}{(1+t^2)\ \arctan^2 t}\right)\; .
\]
La funzione a secondo membro nell'ultima disuguaglianza tende a $1/2$ all' infinito, rimanendo sempre minore di tale valore; d'altra parte essa è strettamente monotona, così come $y(t)$, e ciò assicura che il punto di contatto $t_f$ tra i due diagrammi è unico in $]0,+oo[$ e che $y^('')$ è non positiva in $[0,t_f]$ e non negativa in $[t_f,+oo[$.
Dunque, $y(t)$ è strettamente concava in $[-t_f, t_f]$ e strettamente convessa nei due intervalli rimanenti.[/quote]
non capisco il ragionamento che fai del "punto di contatto tra i due diagrammi", o almeno penso di aver capito che fai un confronto come segni tra i due membri della disequazione:
$y(t)<=1/2 (1 - 1 /((1+t^2)arctan(t)^2)) $
da questo, insieme all'input del teorema degli zeri che tu e dissonance mi avete dato, mi è venuto di ragionare così:
Data la parità della soluzione considero $t>0$
Considero il secondo membro della disequazione come una funzione di t:
$g(t): (0,+oo) \to (-oo,1/2)$
$g(t)=1/2 (1 - 1 /((1+t^2)arctan(t)^2)) $
sia $y(t)$ che $g(t)$ sono continue e monotone, confronto le rispettive immagini:
$Im(y)=(0,1/2]$
$Im(g)=(-oo,1/2)$
essendo il primo membro della disequazione strettamente positivo, mentre il secondo assume valori sia negativi che positivi, deduco dal teorema degli zeri l'esistenza di uno zero $t_(fl)\in\(0,+oo)$ della funzione $g(t)$, tale che per $t>t_(fl)$ la disequazione risulti verificata e quindi la soluzione convessa, mentre per $t
"dissonance":
Ok, allora una volta stabilito questo puoi usare il teorema degli zeri per dimostrare che \(y''(t)\) si annulla in un punto solo su \(t\in[0,\infty)\), che poi è quello che ha fatto Gugo nel suo post. Lo zero negativo te lo da la simmetria.
Io veramente avrei fatto dall'inizio dell'esercizio una considerazione di simmetria: visto che la soluzione è pari è sufficiente studiarla per \(t\ge 0\). Anche tu hai fatto questa considerazione ma non è chiaro come, e poi non la hai usata.
Per dimostrare rigorosamente che la soluzione è pari bisogna mostrare che, se \(y\) è una soluzione del problema di Cauchy, allora \(\tilde y(t):=y(-t)\) è anch'essa una soluzione e che verifica la stessa condizione iniziale.
Teorema:
se una funzione è pari (dispari), la sua derivata è dispari (pari)
io davo erroneamente per vera una forma pseudoinversa di quel teorema: cioè che se $f(x)$ è dispari(pari), le sue primitive $F(x)$ sono pari (dispari), ma ciò è falso, io ero convinto che la soluzione fosse pari anche solo per il fatto che è dispari la derivata del PdC...
ci provo:
---
Data l'unicità della soluzione di un problema di Cauchy.
Data la disparità della funzione arcotangente, da cui consegue la disparità della derivata prima (nel senso di invarianza dell'equazione differenziale per la trasformazione $t \to -t$).
Data l'invarianza della condizione iniziale per cambio di segno della variabile (la condizione iniziale è un punto di massimo, unico punto stazionario della soluzione, in $t=0$).
Si ha che la soluzione è pari
---
ho parlato di invarianza di un'equazione differenziale, in realtà credo di non essere padrone di questo concetto riferito a un'equazione, ho finito di scrivere questo post con scarsa lucidità per la stanchezza, poi vedo di mettere meglio a fuoco queste idee, intanto vi ringrazio per l'aiuto
Più semplicemente, la funzione (usando le tue notazioni) $g(t) - y(t)$ è continua e strettamente crescente in $]0,+oo[$ e ha limiti $-oo$ in $0^+$ e $1/2$ in $+oo$, dunque essa ha un unico zero $t_f$ che separa un intervallo di non positività (alla sua sinistra) da un intervallo di non negatività (alla sua destra).
"qwertyce":
[quote="gugo82"][quote="dissonance"]Complimenti, mi piace come affronti il problema. Prima di tutto una domanda: come dimostri che la soluzione tende a 0 per \(t\to \pm \infty \)?
Per com'è messa la faccenda, la soluzione massimale è definita in tutto $RR$, è pari ed è strettamente decrescente [risp. crescente] in $[0,+oo[$ [risp. $]-oo,0]$]; pertanto essa è regolare in $+-oo$ ed il teorema dell'asintoto assicura che il suo limite $l$ in $+-oo$ è uno zero del secondo membro della EDO. Tale zero non può essere $1$, ergo $l=0$.
La derivata seconda è data da:
\[
y^{\prime \prime} (t) = (y^2 (t) - y(t)) \frac{\arctan^2 (t) (2y(t)-1) (1+t^2)+1}{1+t^2}
\]
ed essa è pari; dunque basta capire ciò che accade in $[0,+oo[$. Visto che $y^2(t) - y(t) <0$ abbiamo $y^('')(t) >= 0$ se e solo se:
\[
\arctan^2 (t) (2y(t)-1) (1+t^2)+1 \leq 0 \quad \Leftrightarrow \quad y(t) \leq \frac{1}{2}\ \left( 1 - \frac{1}{(1+t^2)\ \arctan^2 t}\right)\; .
\]
La funzione a secondo membro nell'ultima disuguaglianza tende a $1/2$ all' infinito, rimanendo sempre minore di tale valore; d'altra parte essa è strettamente monotona, così come $y(t)$, e ciò assicura che il punto di contatto $t_f$ tra i due diagrammi è unico in $]0,+oo[$ e che $y^('')$ è non positiva in $[0,t_f]$ e non negativa in $[t_f,+oo[$.
Dunque, $y(t)$ è strettamente concava in $[-t_f, t_f]$ e strettamente convessa nei due intervalli rimanenti.[/quote]
non capisco il ragionamento che fai del "punto di contatto tra i due diagrammi", o almeno penso di aver capito che fai un confronto come segni tra i due membri della disequazione:
$y(t)<=1/2 (1 - 1 /((1+t^2)arctan(t)^2)) $
da questo, insieme all'input del teorema degli zeri che tu e dissonance mi avete dato, mi è venuto di ragionare così:
Data la parità della soluzione considero $t>0$
Considero il secondo membro della disequazione come una funzione di t:
$g(t): (0,+oo) \to (-oo,1/2)$
$g(t)=1/2 (1 - 1 /((1+t^2)arctan(t)^2)) $
sia $y(t)$ che $g(t)$ sono continue e monotone, confronto le rispettive immagini:
$Im(y)=(0,1/2]$
$Im(g)=(-oo,1/2)$
essendo il primo membro della disequazione strettamente positivo, mentre il secondo assume valori sia negativi che positivi, deduco dal teorema degli zeri l'esistenza di uno zero $t_(fl)\in\(0,+oo)$ della funzione $g(t)$, tale che per $t>t_(fl)$ la disequazione risulti verificata e quindi la soluzione convessa, mentre per $t
"dissonance":[/quote]
Data l'unicità della soluzione di un problema di Cauchy.
Data la disparità della funzione arcotangente, da cui consegue la disparità della derivata prima (nel senso di invarianza dell'equazione differenziale per la trasformazione $t \to -t$).
Data l'invarianza della condizione iniziale per cambio di segno della variabile (la condizione iniziale è un punto di massimo, unico punto stazionario della soluzione, in $t=0$).
Si ha che la soluzione è pari
---
ho parlato di invarianza di un'equazione differenziale, in realtà credo di non essere padrone di questo concetto riferito a un'equazione, ho finito di scrivere questo post con scarsa lucidità per la stanchezza, poi vedo di mettere meglio a fuoco queste idee, intanto vi ringrazio per l'aiuto
Ma molto più semplicemente e rigorosamente, considera la funzione $y(-t) $ come dicevo nel mio post precedente. Essa risolve l'equazione differenziale e verifica la stessa condizione iniziale.
"gugo82":
Più semplicemente, la funzione (usando le tue notazioni) $g(t) - y(t)$ è continua e strettamente crescente in $]0,+oo[$ e ha limiti $-oo$ in $0^+$ e $1/2$ in $+oo$, dunque essa ha un unico zero $t_f$ che separa un intervallo di non positività (alla sua sinistra) da un intervallo di non negatività (alla sua destra).
mi ero complicato inutilmente la vita, data la continuità e la monotonia di $h(t) := g(t) - y(t)$ basta sfruttare i risultati dei limiti da te menzionati per poter applicare il teorema degli zeri, ora mi è chiaro, grazie
"dissonance":
Ma molto più semplicemente e rigorosamente, considera la funzione $y(-t) $ come dicevo nel mio post precedente. Essa risolve l'equazione differenziale e verifica la stessa condizione iniziale.
scusami ma continuo a non capire
precedentemente hai scritto
"dissonance":
Per dimostrare rigorosamente che la soluzione è pari bisogna mostrare che, se \(y\) è una soluzione del problema di Cauchy, allora \(\tilde y(t):=y(-t)\) è anch'essa una soluzione e che verifica la stessa condizione iniziale.
la condizione iniziale è verificata anche per \(\tilde y(t):=y(-t)\) in quanto condizione su un punto in 0, quindi è invariante per la trasformazione $t \to -t$
Ma l'equazione differenziale non è invariante, il fattore $(y(t)^2-y(t))$ rimane positivo in quanto $0
E si ma pure la derivata prima cambia segno, no? Lascia stare questo concetto di "equazione invariante", fai i conti con le mani. Inserisci $y(-t) $ nell'equazione.
EDIT: Lo faccio io. L'equazione è questa:
\[\tag{1}
y'=(y^2-y)\arctan t.
\]
Se \(y=y(t)\) è una soluzione, consideriamo \(\tilde y(t):=y(-t)\) e verifichiamo che essa è ancora una soluzione. Si ha che
\[\tag{2}
\frac d{dt} \tilde y(t) = -\frac{ dy}{dt}(-t),\]
e che
\[\tag{3}
(\tilde y^2(t) - \tilde y(t))\arctan t = (y^2(-t)-y(-t)\arctan t = -(y^2(-t)-y(-t))\arctan(-t).\]
Dalla (1) segue che
\[
y'(-t)=(y^2(-t)-y(-t))\arctan(-t), \]
quindi (2) e (3) sono uguali e \(\tilde y\) è una soluzione dell'equazione differenziale.
EDIT: Lo faccio io. L'equazione è questa:
\[\tag{1}
y'=(y^2-y)\arctan t.
\]
Se \(y=y(t)\) è una soluzione, consideriamo \(\tilde y(t):=y(-t)\) e verifichiamo che essa è ancora una soluzione. Si ha che
\[\tag{2}
\frac d{dt} \tilde y(t) = -\frac{ dy}{dt}(-t),\]
e che
\[\tag{3}
(\tilde y^2(t) - \tilde y(t))\arctan t = (y^2(-t)-y(-t)\arctan t = -(y^2(-t)-y(-t))\arctan(-t).\]
Dalla (1) segue che
\[
y'(-t)=(y^2(-t)-y(-t))\arctan(-t), \]
quindi (2) e (3) sono uguali e \(\tilde y\) è una soluzione dell'equazione differenziale.
Solo per dire che ho modificato il mio post precedente.
"dissonance":
E si ma pure la derivata prima cambia segno, no? Lascia stare questo concetto di "equazione invariante", fai i conti con le mani. Inserisci $y(-t) $ nell'equazione.
EDIT: Lo faccio io. L'equazione è questa:
\[\tag{1}
y'=(y^2-y)\arctan t.
\]
Se \(y=y(t)\) è una soluzione, consideriamo \(\tilde y(t):=y(-t)\) e verifichiamo che essa è ancora una soluzione. Si ha che
\[\tag{2}
\frac d{dt} \tilde y(t) = -\frac{ dy}{dt}(-t),\]
e che
\[\tag{3}
(\tilde y^2(t) - \tilde y(t))\arctan t = (y^2(-t)-y(-t)\arctan t = -(y^2(-t)-y(-t))\arctan(-t).\]
Dalla (1) segue che
\[
y'(-t)=(y^2(-t)-y(-t))\arctan(-t), \]
quindi (2) e (3) sono uguali e \(\tilde y\) è una soluzione dell'equazione differenziale.
forse ho capito: nella $(2)$ il meno alla sinistra di $dy/dt$ viene dalla derivazione della funzione composta?
Esatto.
"dissonance":
Esatto.
ora mi è tutto chiaro, grazie
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