Studio punti critici in più variabili tramite segno delle derivate parziali.
Buonasera, ho un piccolo dubbio.
Siamo nel caso bidimensionale con un punto critico $(x*,y*)$ di una funzione $f$.
Se studiando il segno delle derivate parziali, quindi studiando la pendenza nelle direzioni determinate degli assi $x$ e $y$, trovo un intorno di $(x*,y*)$ in cui le derivate sono entrambe o positive o negative, questo mi permette di concludere che $(x*,y*)$ è un punto di massimo o minimo relativo?
A me non convince molto, perchè non stiamo considerando il segno di $f(x,y)-f(x*,y*)$ ma della pendenza in solo due direzioni. Rispetto ad altri versori non potrei avere segni diversi?
Lo trovo un metodo efficace per dimostrare che non è un punto di massimo o minimo, nei casi in cui l'hessiana è nulla, ma non per fare il contrario.. Eppure in molte mie esercitazioni viene usato.
Grazie in anticipo.
Siamo nel caso bidimensionale con un punto critico $(x*,y*)$ di una funzione $f$.
Se studiando il segno delle derivate parziali, quindi studiando la pendenza nelle direzioni determinate degli assi $x$ e $y$, trovo un intorno di $(x*,y*)$ in cui le derivate sono entrambe o positive o negative, questo mi permette di concludere che $(x*,y*)$ è un punto di massimo o minimo relativo?
A me non convince molto, perchè non stiamo considerando il segno di $f(x,y)-f(x*,y*)$ ma della pendenza in solo due direzioni. Rispetto ad altri versori non potrei avere segni diversi?
Lo trovo un metodo efficace per dimostrare che non è un punto di massimo o minimo, nei casi in cui l'hessiana è nulla, ma non per fare il contrario.. Eppure in molte mie esercitazioni viene usato.
Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao,
con tutto rispetto mi sembra un metodo abbastanza grossolano.
Ricorda che la funzione è a due dimensioni quindi non so quanto la questione del segno sia comparabile con quella usata tradizionalmente per le funzioni con x, unica variabile.
Nel caso di det H = 0 , vale sempre la pena di usare i metodi classici del Hessiano nullo
con tutto rispetto mi sembra un metodo abbastanza grossolano.
Ricorda che la funzione è a due dimensioni quindi non so quanto la questione del segno sia comparabile con quella usata tradizionalmente per le funzioni con x, unica variabile.
Nel caso di det H = 0 , vale sempre la pena di usare i metodi classici del Hessiano nullo
Non riesco comunque a capire se sia valido o meno..
Ho visto che ci sono moltissimi topic in merito a questo argomento, ma nessuno che risponde a una domanda di questo tipo.
Comunque posto direttamente l'esercizio, così magari è più chiaro il problema:
$f (x; y) = e^(2x) + e^(2y)+3e^(x+y)$
sul triangolo di vertici "$(0,0),(0,1),(1,0)$
Non ci sono punti stazionari interni a f. Dallo studio della funzione sul bordo si ha che i possibili punti di massimo relativo sono $(0; 0), (1; 0), (0; 1)$. I possibili punti di minimo relativo sono $(1/2; 1/2), (0; log (3/2)), (log (3/2) ; 0)$
Studiando il segno della derivate parziali all'interno del triangolo si ha che:
$(partial f)/(partial x) > 0$ se e solo se $y
Graficamente si può osservare che $(0; log (3/2)),(log (3/2) ; 0)$ non sono punti di estremo e fin qua ci sono, perchè si può vedere che c'è un intorno per cui il punto è sia massimo che minimo.
Per Weierstrass posso dedurre quindi che $(1/2,1/2)$ è un punto di minimo assoluto sul triangolo.
Negli altri tre punti osservo che per le direzioni di cui ho studiato la crescita, cioè rispetto agli assi $x$, $y$ e la retta $1-x=y$ la funzione cresce sempre. E' sufficiente per concludere che sono di minimo relativo?
Grazie a chi avrà tempo e voglia di rispondermi
Comunque posto direttamente l'esercizio, così magari è più chiaro il problema:
$f (x; y) = e^(2x) + e^(2y)+3e^(x+y)$
sul triangolo di vertici "$(0,0),(0,1),(1,0)$
Non ci sono punti stazionari interni a f. Dallo studio della funzione sul bordo si ha che i possibili punti di massimo relativo sono $(0; 0), (1; 0), (0; 1)$. I possibili punti di minimo relativo sono $(1/2; 1/2), (0; log (3/2)), (log (3/2) ; 0)$
Studiando il segno della derivate parziali all'interno del triangolo si ha che:
$(partial f)/(partial x) > 0$ se e solo se $y
Graficamente si può osservare che $(0; log (3/2)),(log (3/2) ; 0)$ non sono punti di estremo e fin qua ci sono, perchè si può vedere che c'è un intorno per cui il punto è sia massimo che minimo.
Per Weierstrass posso dedurre quindi che $(1/2,1/2)$ è un punto di minimo assoluto sul triangolo.
Negli altri tre punti osservo che per le direzioni di cui ho studiato la crescita, cioè rispetto agli assi $x$, $y$ e la retta $1-x=y$ la funzione cresce sempre. E' sufficiente per concludere che sono di minimo relativo?
Grazie a chi avrà tempo e voglia di rispondermi
Nessuno? 
Non voglio risultare impaziente, solo che la discussione scivola parecchio in basso se nessuno risponde.
Probabilmente è una domanda banale, però sono ansioso di avere una conferma.
Grazie in anticipo.
Probabilmente è una domanda banale, però sono ansioso di avere una conferma.
Grazie in anticipo.
So che la domanda non è particolamente profonda, ma mi piacerebbe avere un aiuto 
Grazie in anticipo.
Grazie in anticipo.
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