Studio punti critici funzione a due variabili

[Rebdiluca]

Ciao, il testo dell'esercizio mi chiede di studiare i punti critici della funzione:
$ f(x,y)=ylog(1+x^3)-y^2 $ .
Dopo aver fatto le derivate parziali, l'unico punto critico di $ f $ è $ (0,0) $ . Il determinante Hessiano si annulla in tale punto, quindi studio $ Delta f=f(x,y)-f(0,0)=f(x,y)=ylog(1+x^3)-y^2 $ . Qui nascono tutti i miei dubbi: se ad esempio considero $ f(0,y) $, trovo che è $ <0 $, mentre $ f(x,0)=0 $. Come posso continuare? Grazie!

[Rebdiluca]

Grazie per la risposta, però non ho capito in base a cosa hai scelto questa curva piana, potresti essere più chiaro a riguardo? Io avevo pensato anche ad un altro procedimento, però non so se è corretto:
$ Delta f=f(x,y)=y(log(1+x^3)-y) $
Il secondo fattore è positivo per $ y

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[Rebdiluca]

Ancora una volta molto gentile. Il prof a lezione non ha mai utilizzato questo metodo, ma solo la definizione di punto di max/min/sella; quindi, se ho capito bene, mi basta considerare una curva $ varphi : Isube R -> R^2 $ tale che $ f(varphi(t))=f(x_0,y_0)=0 $ in questo caso. In questo modo tutto si riduce a uno studio di funzione come ad Analisi I, vero?
Potresti indicarmi dove posso reperire un po' di esercizi che presentano questa difficoltà? Sto usando il libro di esercitazioni Marcellini-Sbordone, ma non ne è molto fornito. Grazie!