Studio punti critici, due variabili
Mi viene chiesto di calcolare punti critici, l'estremo superiore e inferiore di:
$f(x,y)=( xy) /(1+x^2+y^2)$
che è continua e definita su tutto $RR^2$.
prima di tutto non riesco a capire come trovare gli estremi superiore e inferiore. Come posso fare?
per trovare i punti critici calcolo le derivate parziali:
$(delf)/(delx)=(y(1+x^2+y^2)-xy(2x))/((1+x^2+y^2)^2)$ e $(delf)/(dely)=(x(1+x^2+y^2)-xy(2y))/((1+x^2+y^2)^2)$
e studio dove si annulla il gradiente, quindi essenzialmente:
$\{(y(1-x^2+y^2)=0),(x(1+x^2-y^2)=0):} $
dal primo si ottiene che
$y(1+y^2-x^2)=0 hArr \{(y=0),(1+y^2-x^2=0):}$
per primo sostituisco y=0,
$\{(y=0),( x(1+x^2-y^2)=0 ):} hArr \{(y=0),(x(1+x^2)=0):} hArr \{(y=0),(x=0):}$
e quindi ottengo un solo punto critico (0,0).
sostituisco poi $y^2-x^2+1=0$:
$\{(y^2=x^2-1),( x(x^2-y^2+1)=0 ):}= \{(y^2=x^2-1),( x(x^2-x^2+1+1)=0 ):}$
$ \{(y^2=x^2-1),( 2x=0 ):} = \{(x=0),(y^2=-1):} $ quindi nessun punto.
cosa c'è che non va..?
$f(x,y)=( xy) /(1+x^2+y^2)$
che è continua e definita su tutto $RR^2$.
prima di tutto non riesco a capire come trovare gli estremi superiore e inferiore. Come posso fare?
per trovare i punti critici calcolo le derivate parziali:
$(delf)/(delx)=(y(1+x^2+y^2)-xy(2x))/((1+x^2+y^2)^2)$ e $(delf)/(dely)=(x(1+x^2+y^2)-xy(2y))/((1+x^2+y^2)^2)$
e studio dove si annulla il gradiente, quindi essenzialmente:
$\{(y(1-x^2+y^2)=0),(x(1+x^2-y^2)=0):} $
dal primo si ottiene che
$y(1+y^2-x^2)=0 hArr \{(y=0),(1+y^2-x^2=0):}$
per primo sostituisco y=0,
$\{(y=0),( x(1+x^2-y^2)=0 ):} hArr \{(y=0),(x(1+x^2)=0):} hArr \{(y=0),(x=0):}$
e quindi ottengo un solo punto critico (0,0).
sostituisco poi $y^2-x^2+1=0$:
$\{(y^2=x^2-1),( x(x^2-y^2+1)=0 ):}= \{(y^2=x^2-1),( x(x^2-x^2+1+1)=0 ):}$
$ \{(y^2=x^2-1),( 2x=0 ):} = \{(x=0),(y^2=-1):} $ quindi nessun punto.
cosa c'è che non va..?
Risposte
Cos'è l'estremo superiore? Il più piccolo tra tutti i maggioranti di quella funzione, Ora, se una funzione va a $+\infty$ allora l'estremo superiore sarà? Mentre se una funzione ammette massimo assoluto, allora il suo estremo superiore sarà? (Ma io mi chiedo: la fate analisi 1 prima di dedicarvi ad analisi 2?).
si, che è limitata ci sono arrivato. Ma anche se ammette maggioranti, e quindi è limitata, non è obbligato a esistere un massimo! In questo caso come dimostro che l'estremo superiore è anche massimo (e quanto vale?)!
Ti faccio notare che hai calcolato male le derivate parziali.
vero... ma rimane il problema dell'estremo superiore/inferiore...
neri... ricalcola i massimi e minimi correttamente.... poi ne riparliamo!
"ciampax":
neri... ricalcola i massimi e minimi correttamente.... poi ne riparliamo!
Ho ricalcolato... e mi sembra giusto... ma ho anche trovato un solo punto critico. Credo quindi che non esistano max e min (infatti) , però non so come arrivare agli estremi sup e inf..
Bene. Da quello che hai dimostrato, l'unico punto critico è $(0,0)$ in cui la funzione vale $f(0,0)=0$. Adesso osserva che, essendo il denominatore sempre positivo, la funzione risulta nulla lungo gli assi, positiva sul I e II quadrante e negativa sul II e IV. Questo vuol dire che il punto critico è una sella. A questo punto bisogna armarsi di astuzia e chiedersi: la funzione è limitata? Sì! Come lo hai dimostrato?
In ogni caso il fatto che sia limitata (e che non abbia massimi o minimi) implica che le limitazioni saranno gli estremi superiore e inferiore (e saranno uno positivo e uno negativo). Come li calcoliamo? Bé, basta ragionare così: visto che non ci sono massimi e minimi la funzione sarà limitata ad infinito. Come fai a calcolare il limite? Passando a coordinate polari $x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta$ si ha la nuova funzione $F(\rho,\theta)=\frac{\rho^2\cdot\cos\theta\sin\theta}{1+\rho^2}$. Calcolando il limite per $\rho\to+\infty$ (in questo modo ti allontani verso gli infiniti) ottieni
$\lim_{\rho\to+\infty}F(\rho,\theta)=\cos\theta\sin\theta=\frac{1}{2}\sin(2\theta)$[/tex]
Come vedi il limite varia al variare di $\theta$ )che rappresenta la direzione verso la quale ti allontani. Il calcolo di massimo e minimo assoluto di questo valore ti permette di stabilire l'estremo superiore e quello inferiore della funzione di partenza. Osserva che, nonostante questi ultimi siano valori assunti dal limite, non lo sono per la funzione (in quanto, proprio perché si parla di limite, non raggiungerà mai tali valori all'infinito).
In ogni caso il fatto che sia limitata (e che non abbia massimi o minimi) implica che le limitazioni saranno gli estremi superiore e inferiore (e saranno uno positivo e uno negativo). Come li calcoliamo? Bé, basta ragionare così: visto che non ci sono massimi e minimi la funzione sarà limitata ad infinito. Come fai a calcolare il limite? Passando a coordinate polari $x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta$ si ha la nuova funzione $F(\rho,\theta)=\frac{\rho^2\cdot\cos\theta\sin\theta}{1+\rho^2}$. Calcolando il limite per $\rho\to+\infty$ (in questo modo ti allontani verso gli infiniti) ottieni
$\lim_{\rho\to+\infty}F(\rho,\theta)=\cos\theta\sin\theta=\frac{1}{2}\sin(2\theta)$[/tex]
Come vedi il limite varia al variare di $\theta$ )che rappresenta la direzione verso la quale ti allontani. Il calcolo di massimo e minimo assoluto di questo valore ti permette di stabilire l'estremo superiore e quello inferiore della funzione di partenza. Osserva che, nonostante questi ultimi siano valori assunti dal limite, non lo sono per la funzione (in quanto, proprio perché si parla di limite, non raggiungerà mai tali valori all'infinito).
Si il fatto che fosse limitata l'avevo visto dal limite
$ \frac{\rho^2\cdot\cos\theta\sin\theta}{1+\rho^2} -> \frac{\cos\theta\sin\theta}{1}$
in effetti da lì il passo era breve... grazie mille
$ \frac{\rho^2\cdot\cos\theta\sin\theta}{1+\rho^2} -> \frac{\cos\theta\sin\theta}{1}$
in effetti da lì il passo era breve... grazie mille
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