Studio punti critici di una funzione a due variabili
Ciao a tutti,avrei due domande da fare.
1:
Devo studiare i punti critici di $f(x,y)=3x^2y+y^3-3x^2-3y^2+2$. Io so che se le derivate parziali si annullano in un punto, allora quello è un punto critico (al meno negli esempio che affrontiamo noi, nel nostro corso).
Quindi parto imponendo ${(f_x = 6xy-6x=0),(f_y=3x^2+3y^2-6y=0):}=>{(6x(y-1)=0),(3y^2-6y+3x^2):} $ dalla prima equazione ottengo ${(x=0), (y=1):}$, mentre dalla seconda ottengo, facendo la formula dell'equazione di secondo grado:
$y_(1,2)=(6+-sqrt(36-36x^2))/6=(6+-6sqrt(1-x^2))/6$... Biiip... ops, l'allarme che segnala minchi4ta in arrivo si è appena acceso...
La domanda è: quando ho trovato le soluzioni ${(x=0), (y=1):}$ dalla prima equazione, non è che avrei dovuto sostituirle nella seconda? una alla volta? così avrei risolto $3x^2+3y^2-6y=0$ per $x=0$ e poi per $y=1$, ottenendo 2 punti, che sarebbero stati i miei 2 punti critici:
Provando a sostituire $x=0$ ottengo $3*0^2+3y^2-6y=0 => 3y^2-6y=0 => 3y(y-2)= 0$ e quindi $y=0, y=2$ da cui, poi otterrei i punti $P_1(0,0), P_2(0,2)$, ora per trovare altri punti sostituisco $y=1 $ in $3x^2+3y^2-6y=0$ e ottengo $3x^2=0 => x=0$ da cui il terzo punto $P_3(0,1)$. Sono questi i miei 3 punti critici?
Domanda 2:
Se mi chiedono di studiare il max e min di una $f(x,y)$ sul bordo di un certo insieme, ad esempio, il bordo dato dalla parabola $y=x^2$ che si interseca con la retta $y=4$. Dovro' restringere la funzione, prima a: $f|_(y=4) = 3x^2+3*4^2-6*4$ e poi $f|_(y=x^2)3x^2+3(x^2)^2-6x^2$. giusto?
Grazie mille a tutti, mi rendo conto che la domanda è al quanto banale ma ... non ci sto piu' dentro
1:
Devo studiare i punti critici di $f(x,y)=3x^2y+y^3-3x^2-3y^2+2$. Io so che se le derivate parziali si annullano in un punto, allora quello è un punto critico (al meno negli esempio che affrontiamo noi, nel nostro corso).
Quindi parto imponendo ${(f_x = 6xy-6x=0),(f_y=3x^2+3y^2-6y=0):}=>{(6x(y-1)=0),(3y^2-6y+3x^2):} $ dalla prima equazione ottengo ${(x=0), (y=1):}$, mentre dalla seconda ottengo, facendo la formula dell'equazione di secondo grado:
$y_(1,2)=(6+-sqrt(36-36x^2))/6=(6+-6sqrt(1-x^2))/6$... Biiip... ops, l'allarme che segnala minchi4ta in arrivo si è appena acceso...
La domanda è: quando ho trovato le soluzioni ${(x=0), (y=1):}$ dalla prima equazione, non è che avrei dovuto sostituirle nella seconda? una alla volta? così avrei risolto $3x^2+3y^2-6y=0$ per $x=0$ e poi per $y=1$, ottenendo 2 punti, che sarebbero stati i miei 2 punti critici:
Provando a sostituire $x=0$ ottengo $3*0^2+3y^2-6y=0 => 3y^2-6y=0 => 3y(y-2)= 0$ e quindi $y=0, y=2$ da cui, poi otterrei i punti $P_1(0,0), P_2(0,2)$, ora per trovare altri punti sostituisco $y=1 $ in $3x^2+3y^2-6y=0$ e ottengo $3x^2=0 => x=0$ da cui il terzo punto $P_3(0,1)$. Sono questi i miei 3 punti critici?
Domanda 2:
Se mi chiedono di studiare il max e min di una $f(x,y)$ sul bordo di un certo insieme, ad esempio, il bordo dato dalla parabola $y=x^2$ che si interseca con la retta $y=4$. Dovro' restringere la funzione, prima a: $f|_(y=4) = 3x^2+3*4^2-6*4$ e poi $f|_(y=x^2)3x^2+3(x^2)^2-6x^2$. giusto?
Grazie mille a tutti, mi rendo conto che la domanda è al quanto banale ma ... non ci sto piu' dentro
Risposte
Non sono un esperto in materia, ma credo che bisogna risolverlo proprio come un sistema.. vado di fretta ora, quindi non sto a fare i calcoli..
"BoG":
La domanda è: quando ho trovato le soluzioni ${(x=0), (y=1):}$ dalla prima equazione, non è che avrei dovuto sostituirle nella seconda? una alla volta? così avrei risolto $3x^2+3y^2-6y=0$ per $x=0$ e poi per $y=1$, ottenendo 2 punti, che sarebbero stati i miei 2 punti critici:
Provando a sostituire $x=0$ ottengo $3*0^2+3y^2-6y=0 => 3y^2-6y=0 => 3y(y-2)= 0$ e quindi $y=0, y=2$ da cui, poi otterrei i punti $P_1(0,0), P_2(0,2)$, ora per trovare altri punti sostituisco $y=1 $ in $3x^2+3y^2-6y=0$ e ottengo $3x^2=0 => x=0$ da cui il terzo punto $P_3(0,1)$. Sono questi i miei 3 punti critici?
Mi fido dei tuoi calcoli per le derivate parziali e quoto il metodo giusto.
La prima equazione è un prodotto e, come tutti i prodotti, si annulla se si annulla almeno uno dei due fattori. Dunque si opera nel modo, direi, "consueto", ovvero
Caso 1, $x=0$ dalla prima.
Sostituendo nella seconda ho
$3y^2-6y=0$
ovvero $y(y-2)=0$.
Da cui $y=0$ oppure $y=2$.
Quindi le soluzioni sono
$(0,0)$ e $(0,2)$.
Caso 2, $y=1$ dalla prima.
Sostituendo nella seconda ho
$-3+3x^2=0$ ovvero $x^2=1$ che vale $x= \pm 1$.
Dunque le soluzioni sono
$(1,1)$ e $(-1,1)$.
Abbiamo quattro punti totali critici (da vedere di che natura sono), $(0,0)$, $(0,2)$, $(1,1)$, $(-1,1)$.
Le mie soluzioni non combaciano né con wolfram, né con BoG, ma l'errore è qui:
sostituendo $y=1$ in
$3y^2-6y+3x^2=0$
ottengo
$3-6+3x^2=0$, cioè $-3+3x^2=0$ e non $3x^2=0$ come voi... mah, sarà l'ora che mi fa vaneggiare...
Grazie mille ragazzi, invece per quello che riguarda la seconda domanda: è giusto cio' che bisogna fare?
"BoG":
Domanda 2:
Se mi chiedono di studiare il max e min di una $f(x,y)$ sul bordo di un certo insieme, ad esempio, il bordo dato dalla parabola $y=x^2$ che si interseca con la retta $y=4$. Dovro' restringere la funzione, prima a: $f|_(y=4) = 3x^2+3*4^2-6*4$ e poi $f|_(y=x^2)3x^2+3(x^2)^2-6x^2$. giusto?
Hi Zero
come tu ben sai non amo far conti e per fortuna le funzioni che assegnano i professori si prestano a interessanti considerazioni.
Veniamo a noi
$f(x;y)=3x^2y+y^3-3x^2-3y^2+2$
le derivate parziali sono
$f_x=6x(y-1)$
$f_y=3x^2+3y^2-6y=3(x^2+y^2-2y)$
come giustamente hai fatto osservare tu la derivata parziale rispetto a x si annulla per $x=0$ e per $y=1$, sostituendo nell'altra, come opportunamente hai fatto tu otteniamo le soluzioni che cerchiamo
Un'alternativa potrebbe essere quella di disegnare i luoghi dei punti che annullano le derivate parziali e cercare le loro intersezioni
La derivata rispetto a x si annulla lungo le rette $x=0$ e $y=1$
riconoscete quale curva si nasconde qui $(x^2+y^2-2y)$?
come tu ben sai non amo far conti e per fortuna le funzioni che assegnano i professori si prestano a interessanti considerazioni.
Veniamo a noi
$f(x;y)=3x^2y+y^3-3x^2-3y^2+2$
le derivate parziali sono
$f_x=6x(y-1)$
$f_y=3x^2+3y^2-6y=3(x^2+y^2-2y)$
come giustamente hai fatto osservare tu la derivata parziale rispetto a x si annulla per $x=0$ e per $y=1$, sostituendo nell'altra, come opportunamente hai fatto tu otteniamo le soluzioni che cerchiamo
Un'alternativa potrebbe essere quella di disegnare i luoghi dei punti che annullano le derivate parziali e cercare le loro intersezioni
La derivata rispetto a x si annulla lungo le rette $x=0$ e $y=1$
riconoscete quale curva si nasconde qui $(x^2+y^2-2y)$?
è una cerchio !
"BoG":
è una cerchio !
Sì, una circonferenza.
"gio73":
per fortuna le funzioni che assegnano i professori si prestano a interessanti considerazioni.
Mah, quando ho fatto io analisi II - 5 anni fa, ne è passato di tempo! - ho incontrato solo funzioni che non si potevano studiare con considerazioni.
"gio73":
Un'alternativa potrebbe essere quella di disegnare i luoghi dei punti che annullano le derivate parziali e cercare le loro intersezioni
La derivata rispetto a x si annulla lungo le rette $ x=0 $ e $ y=1 $
riconoscete quale curva si nasconde qui $ (x^2+y^2-2y) $?
E' un'alternativa grafica ma se poi vogliamo calcolare i punti torniamo ai soliti calcoli.
Già ma io che i calcoli li sbaglio con piacere posso sempre verificare la plausibilità dei risultati.
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