Studio punti critici di una funzione
Ciao a tutti!
Sono alle prese con lo studio di questa funzione in due variabili: $ f(x,y)=(arccos(x))*(log(y)) $
In particolare devo studiarne i punti critici e determinare poi gli estremi assoluti della funzione nel sottoinsieme $ {(x,y) \in R^2 | -1<=x<=1, 1<=y<=2} $
Per quanto riguarda il dominio dovrebbe essere $ {(x,y) \in R^2 | -1<=x<=1, y>0} $
Per i punti critici ho ricavato il vettore gradiente, e cioè $ \nabla f(x,y)=(-log(y)/(sqrt(1-x^2)),arccos(x)/y) $.
Dovrebbe annullarsi per $y=1$ e $x=1$ (dato che il logaritmo si annulla per $y=1$ e l'arcocoseno per $x=1$) e ne ho ricavato che (1,1) è un punto critico. Mi viene il dubbio però che, dato che il denominatore della prima componente del vettore non ammette valori della x uguali a +1 e -1, non possa considerare il punto x=1 della seconda componente, e quindi che (1,1) non sia punto critico
Anche perchè, provando poi a considerare l'hessiano, le derivate parziali $f$[size=85]xy[/size] e $f$[size=85]yx[/size] nel punto (1,1) non sono accettabili (venendo -1/0)...
Insomma punti critici ricavati ponendo il grandiente uguali a zero ci sono [in questo caso (1,1)] o no?
Per quanto riguarda il secondo punto dello studio ho considerato la frontiera del sottoinsieme, dividendola in 4 curve:
$\Gamma$ [size=85]1[/size] = $ (t,1) ,t \in [-1,1]$
$\Gamma$ [size=85]2[/size] = $ (1,t) ,t \in [1,2]$
$\Gamma$ [size=85]3[/size] = $ (t,2) ,t \in [-1,1]$
$\Gamma$ [size=85]4[/size] = $ (-1,t) ,t \in [1,2]$
Ho sostituito x(t) e y(t) di $\Gamma$ [size=85]1[/size] e $\Gamma$ [size=85]2[/size] nella funzione e viene 0, quindi in tutti i punti lungo $\Gamma$ [size=85]1[/size] e $\Gamma$ [size=85]2[/size] la funzione vale 0.
Per quanto riguarda $\Gamma$ [size=85]3[/size] e $\Gamma$ [size=85]4[/size], andando a sostituire x(t) e y(t) nella funzione mi viene:
Funzione ristretta a $\Gamma$ [size=85]3[/size]: $arccos(t)*log(2)$
Funzione ristretta a $\Gamma$ [size=85]4[/size]: $arccos(-1)*log(t)$
Ora dovrei studiarne la derivate? (ho già visto che non si annullano mai) Oppure considero i punti (-1,2) e (1,2) per $\Gamma$ [size=85]3[/size] e ne verifico il valore, lo stesso per $\Gamma$ [size=85]4[/size] con (-1,2) e (1,2), e alla fine il valore più grande sarà il massimo assoluto, il più piccolo il minimo assoluto? Insomma come procedo?
Grazie a chi potrà aiutarmi
Sono alle prese con lo studio di questa funzione in due variabili: $ f(x,y)=(arccos(x))*(log(y)) $
In particolare devo studiarne i punti critici e determinare poi gli estremi assoluti della funzione nel sottoinsieme $ {(x,y) \in R^2 | -1<=x<=1, 1<=y<=2} $
Per quanto riguarda il dominio dovrebbe essere $ {(x,y) \in R^2 | -1<=x<=1, y>0} $
Per i punti critici ho ricavato il vettore gradiente, e cioè $ \nabla f(x,y)=(-log(y)/(sqrt(1-x^2)),arccos(x)/y) $.
Dovrebbe annullarsi per $y=1$ e $x=1$ (dato che il logaritmo si annulla per $y=1$ e l'arcocoseno per $x=1$) e ne ho ricavato che (1,1) è un punto critico. Mi viene il dubbio però che, dato che il denominatore della prima componente del vettore non ammette valori della x uguali a +1 e -1, non possa considerare il punto x=1 della seconda componente, e quindi che (1,1) non sia punto critico
Anche perchè, provando poi a considerare l'hessiano, le derivate parziali $f$[size=85]xy[/size] e $f$[size=85]yx[/size] nel punto (1,1) non sono accettabili (venendo -1/0)...
Insomma punti critici ricavati ponendo il grandiente uguali a zero ci sono [in questo caso (1,1)] o no?
Per quanto riguarda il secondo punto dello studio ho considerato la frontiera del sottoinsieme, dividendola in 4 curve:
$\Gamma$ [size=85]1[/size] = $ (t,1) ,t \in [-1,1]$
$\Gamma$ [size=85]2[/size] = $ (1,t) ,t \in [1,2]$
$\Gamma$ [size=85]3[/size] = $ (t,2) ,t \in [-1,1]$
$\Gamma$ [size=85]4[/size] = $ (-1,t) ,t \in [1,2]$
Ho sostituito x(t) e y(t) di $\Gamma$ [size=85]1[/size] e $\Gamma$ [size=85]2[/size] nella funzione e viene 0, quindi in tutti i punti lungo $\Gamma$ [size=85]1[/size] e $\Gamma$ [size=85]2[/size] la funzione vale 0.
Per quanto riguarda $\Gamma$ [size=85]3[/size] e $\Gamma$ [size=85]4[/size], andando a sostituire x(t) e y(t) nella funzione mi viene:
Funzione ristretta a $\Gamma$ [size=85]3[/size]: $arccos(t)*log(2)$
Funzione ristretta a $\Gamma$ [size=85]4[/size]: $arccos(-1)*log(t)$
Ora dovrei studiarne la derivate? (ho già visto che non si annullano mai) Oppure considero i punti (-1,2) e (1,2) per $\Gamma$ [size=85]3[/size] e ne verifico il valore, lo stesso per $\Gamma$ [size=85]4[/size] con (-1,2) e (1,2), e alla fine il valore più grande sarà il massimo assoluto, il più piccolo il minimo assoluto? Insomma come procedo?
Grazie a chi potrà aiutarmi
Risposte
Allora per quanto riguarda l'ultimo punto, dato che la derivata non si annulla mai, la funzione ristretta alle curve dovrebbe essere strett monotòna... quindi ho sostituito i punti (-1,2), (1,2), (-1,1) nella funzione iniziale e viene che:
In (-1,2) la funzione vale arccos(-1)*log(2);
In (1,2) vale arccos(1)*log(2) = 0
In (-1,1) vale arccos(-1)*log(1) = 0
Posso concludere quindi che (-1,2) è punto di massimo assoluto e che gli altri 2 sono di minimo ass?
In (-1,2) la funzione vale arccos(-1)*log(2);
In (1,2) vale arccos(1)*log(2) = 0
In (-1,1) vale arccos(-1)*log(1) = 0
Posso concludere quindi che (-1,2) è punto di massimo assoluto e che gli altri 2 sono di minimo ass?
il punto $(+1;+1)$ non solo si trova sulla frontiera del dominio deve stiamo cercando il valore massimo e il valore minimo, ma si trova proprio sulla frontiera del dominio della funzione; lo hai scritto tu che l'argomento dell'arcoseno ($x$) deve essere compreso tra $-1$ e $+1$, isn't it?
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