Studio punti critici

[cechuz]

sono bloccata su questo esercizio sui punti critici, qualcuno potrebbe darmi una mano?
la funzione è $x^3+xyz+yz^2$
ho calcolato il gradiente $gradf(x,y,z)=(3x^2+zy,xz+z^2,xy+2zy)$
allora $gradf(x,y,z)=(0,0,0)$ se e solo se $ { ( 3x^2+zy=0 ),( xz+z^2=0 ),( xy+2zy=0 ):} $ però arrivata questo punto non ho idea di come risolvere il sistema per trovare il punto critico...

[Studente Anonimo]

Riscrivi il sistema in questo modo
$ { ( 3x^2+zy=0 ),( z(x+z)=0 ),( y(x+2z)=0 ):} $
E sfrutta la legge dell'annullamento del prodotto

[pilloeffe]

Ciao cechuz,

Beh, si vede subito il punto critico $O(0,0,0) $
Osserverei anche che la funzione $f(x, y, z) = x^3+xyz+yz^2 $ ha dominio $D = \RR^3 $ ed è dispari:

$f(- x, - y, - z) = (-x)^3 + (-x)(-y)(-z) + (-y)(-z)^2 = - x^3 - xyz - yz^2 = - f(x, y, z) $