Studio punti all'infinito
ho un piccolo dubbio.per lo studio dei punti singolari all'infinito devo prima verificare se ho punti singolari all'infinito.per intenderci se ho una funzione del tipo
$f(z)=(z^2+1)/(z^3(z-1))$ ho due punti singolari isolati.chiaramente sono $z=0$ e $z=1$ e sono anche due punti all'infinito poiché secondo la definizione esiste un cerchio che li racchiude tale che fuori da questo non ci sono punti in cui la funzione non è olomorfa.esatto il ragionamento o presenta qualche falla?
$f(z)=(z^2+1)/(z^3(z-1))$ ho due punti singolari isolati.chiaramente sono $z=0$ e $z=1$ e sono anche due punti all'infinito poiché secondo la definizione esiste un cerchio che li racchiude tale che fuori da questo non ci sono punti in cui la funzione non è olomorfa.esatto il ragionamento o presenta qualche falla?
Risposte
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Perchè "due"?
Il punto all'infinito è uno solo in [tex]$\mathbb{C}$[/tex]...
Ad ogni modo, la tua funzione è regolare in [tex]$\infty$[/tex]: infatti [tex]$f(z)$[/tex] è regolare intorno a [tex]$\infty$[/tex] ed il limite [tex]$\lim_{z\to \infty} f(z)$[/tex] esiste finito (ed è nullo, ovviamente), sicché la singolarità in [tex]$\infty$[/tex] è eliminabile e, per noti fatti, puoi prolungare [tex]$f(z)$[/tex] su [tex]$\infty$[/tex] conservando l'olomorfia.
Il punto all'infinito è uno solo in [tex]$\mathbb{C}$[/tex]...
Ad ogni modo, la tua funzione è regolare in [tex]$\infty$[/tex]: infatti [tex]$f(z)$[/tex] è regolare intorno a [tex]$\infty$[/tex] ed il limite [tex]$\lim_{z\to \infty} f(z)$[/tex] esiste finito (ed è nullo, ovviamente), sicché la singolarità in [tex]$\infty$[/tex] è eliminabile e, per noti fatti, puoi prolungare [tex]$f(z)$[/tex] su [tex]$\infty$[/tex] conservando l'olomorfia.
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