Studio natura punto critico di funzione in due variabili
Consideriamo la funzione $f : RR^2 \to RR$ definita da $f(x,y) = \frac{1}{2}x^2y^3-xy^2+\frac{1}{2}y^2$ ed il punto $P=(\frac{1}{2},0)$.
Si ha che $\nabla f(x,y) = (xy^3-y^2, \frac{3}{2}x^2y^2-2xy+y)$, da cui $\nabla f (P) = (0,0)$, dunque $P$ è un punto critico per $f$.
Si ha che $H f (x,y) = ((y^3,3xy^2-2y),(3xy^2-2y,3x^2y-2x+1))$, da cui $H f (P) = ((0,0),(0,0))$, dunque il criterio dell'Hessiana non ci consente di studiare la natura del punto critico $P$.
Consideriamo allora la funzione $g(x,y) = f(x,y) - f(P) = \frac{1}{2}x^2y^3-xy^2+\frac{1}{2}y^2$.
Consideriamo la restrizione della funzione $g$ lungo la retta $x=\frac{1}{2}$, ovvero la funzione $h(y)=g(\frac{1}{2},y) = \frac{1}{8}y^3$.
In ogni intorno di $y=0$, la funzione $h$ assume sia valori positivi che valori negativi.
Questo dovrebbe bastarci a concludere che $P$ è un punto di sella per $f$.
Avreste dei suggerimenti migliori per studiare la natura del punto critico $P$ oppure ritenete che questa sia la strada più semplice?
Si ha che $\nabla f(x,y) = (xy^3-y^2, \frac{3}{2}x^2y^2-2xy+y)$, da cui $\nabla f (P) = (0,0)$, dunque $P$ è un punto critico per $f$.
Si ha che $H f (x,y) = ((y^3,3xy^2-2y),(3xy^2-2y,3x^2y-2x+1))$, da cui $H f (P) = ((0,0),(0,0))$, dunque il criterio dell'Hessiana non ci consente di studiare la natura del punto critico $P$.
Consideriamo allora la funzione $g(x,y) = f(x,y) - f(P) = \frac{1}{2}x^2y^3-xy^2+\frac{1}{2}y^2$.
Consideriamo la restrizione della funzione $g$ lungo la retta $x=\frac{1}{2}$, ovvero la funzione $h(y)=g(\frac{1}{2},y) = \frac{1}{8}y^3$.
In ogni intorno di $y=0$, la funzione $h$ assume sia valori positivi che valori negativi.
Questo dovrebbe bastarci a concludere che $P$ è un punto di sella per $f$.
Avreste dei suggerimenti migliori per studiare la natura del punto critico $P$ oppure ritenete che questa sia la strada più semplice?
Risposte
Ciao thedarkhero,
Non capisco bene se il punto $P$ ti è stato assegnato oppure no, perché in effetti per qualsiasi punto $P(x_P, 0) $ si ha $f(x_P, 0) = 0 $. Comunque se quello ti è stato assegnato è un punto di sella.
Imponendo $ \nabla f(x,y) = 0 $ mi risulta il sistema seguente:
${(xy^3 - y^2 = 0),(3/2 x^2 y^2 - 2xy + y = 0):} $
${(y^2(xy - 1) = 0),(3/2 x^2 y^2 - 2xy + y = 0):} $
Ora sicuramente una soluzione è $y = 0 $, indipendentemente dal valore di $x$, l'altra è $xy = 1 $ che inserita nella seconda equazione porge $3/2 - 2 + y = 0 \implies y = 1/2 \implies x = 2 $ da cui il punto critico $M(2, 1/2) $ che risulta essere un punto di minimo della funzione proposta: $z_M = f(2, 1/2) = - 1/8 $
"thedarkhero":
Consideriamo la funzione $f:\RR^2 \rightarrow \RR $ definita da $f(x,y)=1/2 x^2y^3−xy^2+1/2 y^2 $ ed il punto $P=(1/2,0)$.
Si ha che $ \nabla f(x,y) = (xy^3-y^2, \frac{3}{2}x^2y^2-2xy+y) $
Non capisco bene se il punto $P$ ti è stato assegnato oppure no, perché in effetti per qualsiasi punto $P(x_P, 0) $ si ha $f(x_P, 0) = 0 $. Comunque se quello ti è stato assegnato è un punto di sella.
Imponendo $ \nabla f(x,y) = 0 $ mi risulta il sistema seguente:
${(xy^3 - y^2 = 0),(3/2 x^2 y^2 - 2xy + y = 0):} $
${(y^2(xy - 1) = 0),(3/2 x^2 y^2 - 2xy + y = 0):} $
Ora sicuramente una soluzione è $y = 0 $, indipendentemente dal valore di $x$, l'altra è $xy = 1 $ che inserita nella seconda equazione porge $3/2 - 2 + y = 0 \implies y = 1/2 \implies x = 2 $ da cui il punto critico $M(2, 1/2) $ che risulta essere un punto di minimo della funzione proposta: $z_M = f(2, 1/2) = - 1/8 $
Si, il punto $P$ è assegnato.
Il mio dubbio era principalmente se secondo voi c'è una strada più semplice di quella che ho proposto per capire che $P$ è punto di sella per $f$, visto che il criterio più standard (ovvero quello dell'Hessiana) non funziona.
Il mio dubbio era principalmente se secondo voi c'è una strada più semplice di quella che ho proposto per capire che $P$ è punto di sella per $f$, visto che il criterio più standard (ovvero quello dell'Hessiana) non funziona.
Sono un po' stanco e quindi potrei dire una scemenza, ma se sei interessat* a dimostrare che $(0,0)$ è un punto di sella dedurre che $g$ cambia segno in ogni intorno di $(1/2,0)$ non ti dà alcuna informazione sulla natura di $(0,0)$. Devi dimostrare che in ogni intorno di $(0,0)$ la $g$ cambia segno. O no?
Io sono interessato a studiare la natura del punto critico $P=(\frac{1}{2},0)$, non dell'origine (nonostante anch'essa sia una punto critico).
Potresti dimostrare che tutti i punti del tipo $(x_P, 0) $, che sono i punti dell'asse $x$, sono punti di sella.
D'altronde per tali punti si ha:
$h(y) := f(x_P, 0) = 1/2 x_P^2y^3-x_P y^2+1/2 y^2 = 1/2 y^2 (x_P^2y - 2x_P + 1) $
Ora in questa cubica il termine davanti alla parentesi è positivo o nullo, il termine in parentesi è positivo per $y > \frac{2x_P - 1}{x_P^2} $, cioè per $x_P > 1/2 $, nullo per $y = \frac{2x_P - 1}{x_P^2} $, cioè per $x_P = 1/2 $ e negativo per $y < \frac{2x_P - 1}{x_P^2} $, cioè per $x_P < 1/2 $
D'altronde per tali punti si ha:
$h(y) := f(x_P, 0) = 1/2 x_P^2y^3-x_P y^2+1/2 y^2 = 1/2 y^2 (x_P^2y - 2x_P + 1) $
Ora in questa cubica il termine davanti alla parentesi è positivo o nullo, il termine in parentesi è positivo per $y > \frac{2x_P - 1}{x_P^2} $, cioè per $x_P > 1/2 $, nullo per $y = \frac{2x_P - 1}{x_P^2} $, cioè per $x_P = 1/2 $ e negativo per $y < \frac{2x_P - 1}{x_P^2} $, cioè per $x_P < 1/2 $
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo