Studio Monotonia Funzione
Salve a tutti,
vorrei porre alla vostra attenzione il seguente esercizio:
Dire per quale valore di K la funzione $f(x)=logx^2 - k*arctanx$ è monotona.
Bene, il dominio della funzione è chiaramente $R-{0}$ e, passando allo studio del segno della sua derivata prima, risulta:
$(2x^2-kx+2)/(x(1+x^2)) > 0$
A questo punto, tralasciando per un attimo il numeratore, si vede che il denominatore $D(x)>0 <=> x>0$, ovvero ha segno variabile nel dominio della funzione.
Dunque, al di là dei 3 casi differenti derivanti dallo studio del delta del numeratore, il segno della derivata prima dipenderà comunque da x, dunque non potrebbe mai avere segno costante in tutto il dominio della funzione.
Perciò concludo che non esiste alcun valore di k, per cui la funzione risulti monotona in tutto il suo dominio.
E' corretto o sto sbagliando qualcosa?
Grazie mille del vostro aiuto.
Giacomo
vorrei porre alla vostra attenzione il seguente esercizio:
Dire per quale valore di K la funzione $f(x)=logx^2 - k*arctanx$ è monotona.
Bene, il dominio della funzione è chiaramente $R-{0}$ e, passando allo studio del segno della sua derivata prima, risulta:
$(2x^2-kx+2)/(x(1+x^2)) > 0$
A questo punto, tralasciando per un attimo il numeratore, si vede che il denominatore $D(x)>0 <=> x>0$, ovvero ha segno variabile nel dominio della funzione.
Dunque, al di là dei 3 casi differenti derivanti dallo studio del delta del numeratore, il segno della derivata prima dipenderà comunque da x, dunque non potrebbe mai avere segno costante in tutto il dominio della funzione.
Perciò concludo che non esiste alcun valore di k, per cui la funzione risulti monotona in tutto il suo dominio.
E' corretto o sto sbagliando qualcosa?
Grazie mille del vostro aiuto.
Giacomo
Risposte
La conclusione è corretta. Però non era nemmeno necessario fare la derivata dato per $x->0$ la funzione va $-oo$ in entrambe le direzioni per qualsiasi valore di k. Quindi come può essere monotona?
Non è che ti hanno assegnato un dominio per la funzione tipo $x>0$?
Perchè allora il problema avrebbe senso (prova a risolverlo)
Non è che ti hanno assegnato un dominio per la funzione tipo $x>0$?
Perchè allora il problema avrebbe senso (prova a risolverlo)
Si, giustissimo. Bastava fare quel limite...
Comunque, la traccia è testualmente quella che ho scritto, dunque immagino si sottintenda lo studio di monotonia in tutto il dominio.
Certo, restringendo ad $x>0$ o $x<0$, l'esercizio ha più senso, ma diventa poi banale.
Grazie mille della tua risposta celere e illuminante.
A presto
Giacomo
Comunque, la traccia è testualmente quella che ho scritto, dunque immagino si sottintenda lo studio di monotonia in tutto il dominio.
Certo, restringendo ad $x>0$ o $x<0$, l'esercizio ha più senso, ma diventa poi banale.
Grazie mille della tua risposta celere e illuminante.
A presto
Giacomo
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