Studio matrice hessiana e punti critici

[cristof1]

salve,
ho un problema con lo studio dei punti critici. AIUTO!!!!!

$ f(x,y,z)=3x^2y^2+4xy^2+8z^2 $

$ { ( 6xy^2+4y^2=0 ),( 6x^2y+8xy=0 ),( 16z=0 ):} $

$ p1(x,0,0);
p2(0,0,0);
p3(-2/3,0,0);
p4(-4/3,0,0) $

$ Hf(p1)( ( lambda , 0 , 0 ),( 0 , (lambda-6x^2-8x) , 0 ),( 0 , 0 , (lambda-16) ) ) rArr lambda1=0;lambda2=6x^2+8x;lambda3=16 $

ora dovrei studiare l'equazione per garantire che la matrice sia indefinita (punti sella) oppure semidefinita positiva(punti minimo locali).
durante lo studio ottengo:

$ lambda>0 hArr x>0 ,x<-4/3 $ matrice semidefinita positiva quindi punti di minimo o punti sella

punto minimo $ rArr f(p1)<=f(x,y,z) AA x inBdelta (p1) $ $ rArr f(p1)=0rArr f(x,y,z)>=0 $

$ f(x,y,z)=3x^2y^2+4xy^2+8z^2>=0rArr y^2(3x^2+4x)+8z^2>=0 $ mi rendo conto che se studio l'equazione nei punti x=0 o x=-4/3 ottengo sempre lo stesso risultato cioè per ogni (x,y,z) $in$ alla palla di raggio $delta$ $f(x,y,z)>=0$, allora avrò per $x>=0,x<=-4/3$ infiniti punti di minimo locale e per $-4/30$ punti sella( dove rientra $p3$)

il professore invece mi da come risultato:
ha esattamente due punti critici con matrice semidefinita positiva che sono di tipo sella.

dove posso aver sbagliato? aiutatemi per favore perché devo rifare questo esercizio per l'orale. GRAZIE!!!

[cristof1]

scusate il disturbo. ho appena risolto il problema e non mi ero accorto che avevo già scritto la risposta. per x>0 e x<-4/3 avrò punti critici di minimo loc. con matrice semidefinita positiva. per -4/3=$0 quindi x=0 e x=-4/3 sono pt. sella.
se vedete qualche errore vi prego di rispondere. grazie