Studio massimi e minimi di una funzione a due variabili reali
Salve, sono un nuovo utente e vi scrivo per avere un aiuto circa il seguente quesito
Dovrei studiare i punti di massimo e di minimo relativi ed assoluti di questa funzione
\[f(x)=arctg^2 (x^2+y^2+2)\] definita nel cerchio di centro l'origine (0,0) e raggio 1.
Ora, nel calcolo delle derivate parziali, rispetto alla variabile x e alla variabile y, trovandomi difronte alla derivata di
\[ arctg^2f(x)\]
ho azzardato le seguenti soluzioni:
\[fx = 2arctg(x^2+y^2+2)\cdot\frac{2x}{1+(x^2+y^2+2)^2} = \frac{4x\cdot arctg(x^2+y^2+2)}{x^4+y^4+2x^2y^2+4x^2+4y^2+5}\]
\[fy = 2arctg(x^2+y^2+2)\cdot\frac{2y}{1+(x^2+y^2+2)^2} = \frac{4y\cdot arctg(x^2+y^2+2)}{x^4+y^4+2x^2y^2+4x^2+4y^2+5}\]
il problema è che calcolando fxy ed fyx , dovendo essere fxy = fyx , non mi trovo in quanto i risultati sono diversi.
Ho sbagliato qualcosa, sapete darmi qualche delucidazione?
Vi ringrazio anticipatamente
Dovrei studiare i punti di massimo e di minimo relativi ed assoluti di questa funzione
\[f(x)=arctg^2 (x^2+y^2+2)\] definita nel cerchio di centro l'origine (0,0) e raggio 1.
Ora, nel calcolo delle derivate parziali, rispetto alla variabile x e alla variabile y, trovandomi difronte alla derivata di
\[ arctg^2f(x)\]
ho azzardato le seguenti soluzioni:
\[fx = 2arctg(x^2+y^2+2)\cdot\frac{2x}{1+(x^2+y^2+2)^2} = \frac{4x\cdot arctg(x^2+y^2+2)}{x^4+y^4+2x^2y^2+4x^2+4y^2+5}\]
\[fy = 2arctg(x^2+y^2+2)\cdot\frac{2y}{1+(x^2+y^2+2)^2} = \frac{4y\cdot arctg(x^2+y^2+2)}{x^4+y^4+2x^2y^2+4x^2+4y^2+5}\]
il problema è che calcolando fxy ed fyx , dovendo essere fxy = fyx , non mi trovo in quanto i risultati sono diversi.
Ho sbagliato qualcosa, sapete darmi qualche delucidazione?
Vi ringrazio anticipatamente
Risposte
Hai provato prima di tutto a determinare i punti stazionari? Perché se all'interno del cerchio non ve ne sono, significa che massimi e minimi interni non ce ne stanno e quindi puoi evitare di determinare l'hessiana.
Per determinare i punti stazionari dovrei determinare i punti in cui il gradiente si annulla giusto? Quindi porre a sistema le derivate parziali
\[\begin{cases}fx = 0\\ fy = 0\end{cases}\]
e risolvere il sistema.
Il punto è che non so se le ho calcolate in modo corretto visto che, solitamente, un indizio circa il corretto svolgimento delle derivate era il fatto che le derivate ad incrocio fx(y) = fy(x)
:\
\[\begin{cases}fx = 0\\ fy = 0\end{cases}\]
e risolvere il sistema.
Il punto è che non so se le ho calcolate in modo corretto visto che, solitamente, un indizio circa il corretto svolgimento delle derivate era il fatto che le derivate ad incrocio fx(y) = fy(x)
:\
Le derivate parziali prime sono giuste. Ora prova a fare quello che ti ho detto.
Beh se son giuste, allora dal sistema ottenuto per verificare dove il gradiente si annulla, mi ritrovo un punto con coordinate pari a quelle dell'origine
x = 0
y = 0
a questo punto dovrei studiarmi il segno dell'Hessiano per determinare di che punto si tratta e quindi far riferimento alla matrice:
\[H(p)= \begin{bmatrix}fxx & fxy \\ fyx & fyy \end{bmatrix}\]
giusto?
x = 0
y = 0
a questo punto dovrei studiarmi il segno dell'Hessiano per determinare di che punto si tratta e quindi far riferimento alla matrice:
\[H(p)= \begin{bmatrix}fxx & fxy \\ fyx & fyy \end{bmatrix}\]
giusto?
No. Rifletti un po' su come è fatta la funzione: dal momento che è un quadrato, puoi certamente affermare che $f(x,y)\ge 0$. Inoltre l'argomento dell'arcotangente sarà sempre $x^2+y^2+2\ge 2$. Questo vuol dire che la funzione è tale da essere
$$f(x,y)=\arctan^2(x^2+y^2+2)\ge \arctan^2 2>0$$
e visto che in $(0,0)$ si ottiene il valore scritto sopra, questo implica che $(0,0)$ è un minimo assoluto.
$$f(x,y)=\arctan^2(x^2+y^2+2)\ge \arctan^2 2>0$$
e visto che in $(0,0)$ si ottiene il valore scritto sopra, questo implica che $(0,0)$ è un minimo assoluto.
la funzione ha questo andamento
ed effettivamente, tenendo conto che \[f(x,y) = arctg^2 (x^2+y^2+2)\]
considerando il punto trovato P(0,0) si ha che \[f(0,0) = arctg^2 (0 + 0 + 2) = arctg^2 (2) > 0 \]
quindi P= (0,0) è un punto di minimo relativo ma essendo la funzione \[arctg^2\] allora (0,0) diviene un punto di minimo assoluto giusto?
Solitamente io non procedevo in questi termini ma proseguivo andando a determinare l'Hessiano del/dei punto/i interno/i alla funzione verificando se fossero massimi o minimi relativi.
Tale modus operandi vale sempre?
ed effettivamente, tenendo conto che \[f(x,y) = arctg^2 (x^2+y^2+2)\]
considerando il punto trovato P(0,0) si ha che \[f(0,0) = arctg^2 (0 + 0 + 2) = arctg^2 (2) > 0 \]
quindi P= (0,0) è un punto di minimo relativo ma essendo la funzione \[arctg^2\] allora (0,0) diviene un punto di minimo assoluto giusto?
Solitamente io non procedevo in questi termini ma proseguivo andando a determinare l'Hessiano del/dei punto/i interno/i alla funzione verificando se fossero massimi o minimi relativi.
Tale modus operandi vale sempre?
Continuando nello svolgimento dell'esercizio, definito il punto (0,0) come minimo assoluto passo poi allo studio della frontiera. Come procedo?
Le equazioni parametriche della circonferenza di centro (0,0) e raggio 1 saranno
\[ \begin{cases}x = cos t\\y = sen t\end{cases} t\in[0,2\pi]\]
giusto?
Quindi la restrizione della funzione alla frontiera sarà data da \[F(t)=f(cost,sent)=arctg^2(cos^2t+sen^2t+2)\]
e poi proseguo a calcolarmi la derivata prima e la derivata seconda di F(t) ?
Le equazioni parametriche della circonferenza di centro (0,0) e raggio 1 saranno
\[ \begin{cases}x = cos t\\y = sen t\end{cases} t\in[0,2\pi]\]
giusto?
Quindi la restrizione della funzione alla frontiera sarà data da \[F(t)=f(cost,sent)=arctg^2(cos^2t+sen^2t+2)\]
e poi proseguo a calcolarmi la derivata prima e la derivata seconda di F(t) ?
Ti faccio presente che sulla frontiera $x^2+y^2=1$, per cui....
quindi essendo \[cos^2 t + sen^2t =1\]
mi ritrovo con \[arctg^2 (1+2) = arctg^2 3\]
?
mi ritrovo con \[arctg^2 (1+2) = arctg^2 3\]
?
Certo. Per cui....
Per cui , poichè nel punto P=(0,0) la funzione assumeva valore pari ad \[f(0,0)= arctg^22\] questo era un punto di minimo assoluto;
i punti della frontiera \[∂ C\] della circonferenza C di centro nell'origine e raggio 1, assumono valore pari ad \[arctg^2 3\] conseguentemente sono tutti punti di massimo per f(x,y)?
Lo studio si fermerebbe a questo? Te lo chiedo perchè è la prima volta che mi imbatto in un esercizio di questo tipo
i punti della frontiera \[∂ C\] della circonferenza C di centro nell'origine e raggio 1, assumono valore pari ad \[arctg^2 3\] conseguentemente sono tutti punti di massimo per f(x,y)?
Lo studio si fermerebbe a questo? Te lo chiedo perchè è la prima volta che mi imbatto in un esercizio di questo tipo
Sì, è esattamente così.
Tra l'altro voglio cogliere l'occasione, visto che a quanto pare si tratta della medesima tipologia, per mostrarvi quest'altro esempio che ho svolto e per il quale, quindi, vi chiedo se il procedimento sia corretto.
Mi ritrovo a studiare massimi e minimi della funzione \[f(x)=log^2 (x^2+y^2+2)\] nel cerchio C di centro nell'origine (0,0) e raggio 1.
Inizio con il determinare le derivate parziali prime della funzione
\[ log^2f(x)\]
per la quale mi ritrovo le seguenti soluzioni:
\[fx = 2log(x^2+y^2+2)\cdot\frac{2x}{(x^2+y^2+2)} = \frac{4x\cdot log(x^2+y^2+2)}{x^2+y^2+2}\]
\[fy = 2log(x^2+y^2+2)\cdot\frac{2y}{(x^2+y^2+2)} = \frac{4y\cdot log(x^2+y^2+2)}{x^2+y^2+2}\]
(Questa volta, essendo i calcoli meno impegnativi, mi sono spinto anche a determinare le derivate parziali seconde per poi procedere alla determinazione dell'Hessiano nel punto P=(0,0) ed ho constatato, come mi aveva anticipato anche ciampax, che da quest'ultimo non ho ricavato proprio alcuna informazione )
Procedo quindi a verificare la presenza di punti stazionari in cui il gradiente si annulla e risolvendo tale sistema
\[\begin{cases}\frac{4x\cdot log(x^2+y^2+2)}{x^2+y^2+2} = 0\\ \frac{4y\cdot log(x^2+y^2+2)}{x^2+y^2+2} = 0\end{cases}\]
mi ritrovo il punto P=(0,0)
per il quale la f assume valore pari a \[f(0,0)=log^2(0+0+2)=log^2(2)>0\] per cui il punto P=(0,0) è un minimo assoluto per f essendo la funzione in oggetto un quadrato ed essendo l'argomento del logaritmo maggiore di 0
A questo punto passo quindi a considerare la frontiera ∂C di C la quale ha equazioni parametriche pari a
\[ \begin{cases}x = cos t\\y = sen t\end{cases} t\in[0,2\pi]\]
per cui, la restrizione di f alla frontiera sarà \[F(t) = f(cost,sent)=log^2(cos^2t+sen^2t+2) = log^2 (1+2) = log^2 3\]
quindi, analogamente all'esercizio precedente, i punti della frontiera ∂C di C saranno punti di massimo per f ?
Mi ritrovo a studiare massimi e minimi della funzione \[f(x)=log^2 (x^2+y^2+2)\] nel cerchio C di centro nell'origine (0,0) e raggio 1.
Inizio con il determinare le derivate parziali prime della funzione
\[ log^2f(x)\]
per la quale mi ritrovo le seguenti soluzioni:
\[fx = 2log(x^2+y^2+2)\cdot\frac{2x}{(x^2+y^2+2)} = \frac{4x\cdot log(x^2+y^2+2)}{x^2+y^2+2}\]
\[fy = 2log(x^2+y^2+2)\cdot\frac{2y}{(x^2+y^2+2)} = \frac{4y\cdot log(x^2+y^2+2)}{x^2+y^2+2}\]
(Questa volta, essendo i calcoli meno impegnativi, mi sono spinto anche a determinare le derivate parziali seconde per poi procedere alla determinazione dell'Hessiano nel punto P=(0,0) ed ho constatato, come mi aveva anticipato anche ciampax, che da quest'ultimo non ho ricavato proprio alcuna informazione
)Procedo quindi a verificare la presenza di punti stazionari in cui il gradiente si annulla e risolvendo tale sistema
\[\begin{cases}\frac{4x\cdot log(x^2+y^2+2)}{x^2+y^2+2} = 0\\ \frac{4y\cdot log(x^2+y^2+2)}{x^2+y^2+2} = 0\end{cases}\]
mi ritrovo il punto P=(0,0)
per il quale la f assume valore pari a \[f(0,0)=log^2(0+0+2)=log^2(2)>0\] per cui il punto P=(0,0) è un minimo assoluto per f essendo la funzione in oggetto un quadrato ed essendo l'argomento del logaritmo maggiore di 0
A questo punto passo quindi a considerare la frontiera ∂C di C la quale ha equazioni parametriche pari a
\[ \begin{cases}x = cos t\\y = sen t\end{cases} t\in[0,2\pi]\]
per cui, la restrizione di f alla frontiera sarà \[F(t) = f(cost,sent)=log^2(cos^2t+sen^2t+2) = log^2 (1+2) = log^2 3\]
quindi, analogamente all'esercizio precedente, i punti della frontiera ∂C di C saranno punti di massimo per f ?
Uguale uguale a quello di prima.
Ti ringrazio infinitamente Ciampax
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