Studio locale punto critico
La seguente funzione:
$f(x, y) = 3x^2 + y^2 - x^3y$
ha un punto critico nell'origine.
Il testo dice che nell'intorno dell'origine $f(x, y) >= 0$ in quanto il termine di quarto ordine $-x^3y$ è trascurabile rispetto a $3x^2 + y^2$, che è positivo fuori dall'origine.
Com'è possibile affermare che il termine è trascurabile?
Questo vuole dire che quando faccio uno studio locale nell'intorno di un punto posso sempre non considerare a piacimento termini di grado maggiore del grado minimo di una funzione?
Grazie!
$f(x, y) = 3x^2 + y^2 - x^3y$
ha un punto critico nell'origine.
Il testo dice che nell'intorno dell'origine $f(x, y) >= 0$ in quanto il termine di quarto ordine $-x^3y$ è trascurabile rispetto a $3x^2 + y^2$, che è positivo fuori dall'origine.
Com'è possibile affermare che il termine è trascurabile?
Questo vuole dire che quando faccio uno studio locale nell'intorno di un punto posso sempre non considerare a piacimento termini di grado maggiore del grado minimo di una funzione?
Grazie!
Risposte
In generale no, qui funziona perche' $f(0,0)=0$, e dunque "contano" le potenze piu' basse in $0$.
"Luca.Lussardi":
In generale no, qui funziona perche' $f(0,0)=0$, e dunque "contano" le potenze piu' basse in $0$.
Potesti chiarire ulteriormente il perchè di ciò?
Grazie
Se $(x,y) \to 0$, allora la potenza $4$ è "già zero quando le potenze più basse non lo sono ancora". Ovvero il segno della $f$ attorno allo $0$ è il segno della parte $3x^2+y^2$.
"Luca.Lussardi":
Se $(x,y) \to 0$, allora la potenza $4$ è "già zero quando le potenze più basse non lo sono ancora". Ovvero il segno della $f$ attorno allo $0$ è il segno della parte $3x^2+y^2$.
Ti ringrazio.
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