Studio limiti al variare di alfa seno-tangente

[judd79]

Ciao a tutti ragazzi.

Potreste spiegarmi come risolvere gli esercizi dell'immagine?
Non ne ho la minima idea
Grazie

[anto_zoolander]

Ciao e benvenuto/a!
Innanzitutto dalla prossima volta sarebbe giusto che tu scriva i testi degli esercizi, come da regolamento.
Per seconda cosa, ti aiuto nello svolgimento del primo.

per quali valori di $alpha$ il limite esiste finito?

$lim_(n->+infty)$\(\displaystyle \binom{3n+1}{3n-2} \)$tan(1/(n^alpha+1))$

ora \(\displaystyle \binom{3n+1}{3n-2} \)$=((3n+1)!)/(3!(3n-2)!)=1/(3!)(3n+1)(3n)(3n-1)$

nota che essendo il binomio il numero di combinazioni possibili a gruppi di $k$ elementi, deve essere $ngeqk$ che è banalmente verificata $foralln inNN$

$lim_(n->+infty)n^3/(3!)*(3+1/n)3(3-1/n)tan(1/(n^alpha+1))=lim_(n->+infty)n^3/2*(3+1/n)(3-1/n)tan(1/(n^alpha+1))$

ora per $n->+infty$ si ha che $tan(1/(n^alpha+1))$\(\displaystyle \sim \)$1/(n^alpha+1)$

$9/2lim_(n->+infty)(1-1/(3n)^2)(n^3)/(n^alpha+1)$

ovviamente questo limite è finito solo se $alphageq3$ in particolare se $alpha=3$ si ha che $n^3$ e $n^alpha+1$ sono infiniti dello stesso ordine e dunque il limite del loro rapporto tende a $1$, l'altro pezzo tende a $1$, dunque il limite farebbe $9/2$

invece $forallalpha>3$ si ha che il denominatore è un infinito di ordine superiore e dunque il limite di tutto tende a $0$.