Studio limite al variare di alpha
Ciao, sto volgendo un esercizio sullo studio di un limite al variare di un paramenro alpha, riesco a svolgere il limite ma non ho capito quali casi studiare alla fine (caso $alpha=1$, ...)
il limite è: $lim_(x->0^+) (1-ln^alpha (x+e))/((sinx)^alpha)$
lo semplifico fino ad arrivare a: $ lim_(x->o^+) -((x+e)/alpha) * 1/(alpha(sinx)^(alpha-1)*cosx) $
quindi studio il caso $alpha=1$ ed ottengo $lim=-e$
ma quali altri casi studiare per soddisfare l'esercizio?
(il caso generale non riesco a semplificare ulteriormente il limite da dove sono arrivato)
grazie per qualsiasi consiglio, ciao
il limite è: $lim_(x->0^+) (1-ln^alpha (x+e))/((sinx)^alpha)$
lo semplifico fino ad arrivare a: $ lim_(x->o^+) -((x+e)/alpha) * 1/(alpha(sinx)^(alpha-1)*cosx) $
quindi studio il caso $alpha=1$ ed ottengo $lim=-e$
ma quali altri casi studiare per soddisfare l'esercizio?
(il caso generale non riesco a semplificare ulteriormente il limite da dove sono arrivato)
grazie per qualsiasi consiglio, ciao
Risposte
C'è qualcosa che non mi torna: come fai ad ottenere la seconda forma? Usando i confronti locali (sono sufficienti in questo caso, puoi far vedere che (usando il fatto che $(1+t)^\alpha\sim 1+\alpha t,\ \log(1+t)\sim t,\ \sin t\sim t$ per $t\to 0$)
$1-\log^\alpha(x+e)=1-\log^\alpha[e(x/e+1)]=1-[\log e+\log(x/e+1)]^\alpha=$
$=1-[1+\log(x/e+1)]^\alpha\sim 1-[1+\alpha\log(x/e+1)]\sim -\alpha x/e$
$(\sin x)^\alpha\sim x^\alpha$
e quindi il limite risulta equivalente al seguente
[tex]$\lim_{x\to 0^+}\frac{\displaystyle -\alpha \frac{x}{e}}{x^\alpha}=-\frac{\alpha}{e}\lim_{x\to 0^+} x^{1-\alpha}=\left\{\begin{array}{lcl}
0^- & & \alpha>1\\ & & \\ \displaystyle -\frac{1}{e} & & \alpha=1\\ & & \\ -\infty & & 0<\alpha<1\\ & & \\ 0 & & \alpha=0\\ & & \\ +\infty & & \alpha<0
\end{array}\right.$[/tex]
$1-\log^\alpha(x+e)=1-\log^\alpha[e(x/e+1)]=1-[\log e+\log(x/e+1)]^\alpha=$
$=1-[1+\log(x/e+1)]^\alpha\sim 1-[1+\alpha\log(x/e+1)]\sim -\alpha x/e$
$(\sin x)^\alpha\sim x^\alpha$
e quindi il limite risulta equivalente al seguente
[tex]$\lim_{x\to 0^+}\frac{\displaystyle -\alpha \frac{x}{e}}{x^\alpha}=-\frac{\alpha}{e}\lim_{x\to 0^+} x^{1-\alpha}=\left\{\begin{array}{lcl}
0^- & & \alpha>1\\ & & \\ \displaystyle -\frac{1}{e} & & \alpha=1\\ & & \\ -\infty & & 0<\alpha<1\\ & & \\ 0 & & \alpha=0\\ & & \\ +\infty & & \alpha<0
\end{array}\right.$[/tex]
"ciampax":
C'è qualcosa che non mi torna: come fai ad ottenere la seconda forma? Usando i confronti locali (sono sufficienti in questo caso,...
Grazie mille per la correzione, non pensavo fosse il caso di usare il confronto locale,
avevo usato del'Hopital in quanto il limite era una forma indeterminata $0/0$.
Sto studiando i tuoi passaggi, grazie ancora

perfetto, tutto chiaro!
Grazie Mille
Grazie Mille

Io ODIO de l'Hopital!
