Studio integrale improprio

[Sk_Anonymous]

Ciao, devo studiare il seguente integrale improprio:
$int_(0)^(+oo) (log(x+1)/(x^3+2x+1))$. La funzione, per x che tende a più infinito, è asintoticamente uguale a $logx/x^3(1+o(1))$. Domanda: siccome non esiste l'ordine di infinitesimo e quindi non posso usare il teorema che mi diceva che l'integrale sarebbe stato convergente se il suo ordine di infinitesimo fosse stato >1, come faccio a verificarne la convergenza-divergenza? Grazie mille

[dissonance]

Perché non provi a stabilire direttamente se $int_a^infty (logx)/(x^3) dx$ converge o diverge?

[Sk_Anonymous]

"dissonance":Perché non provi a stabilire direttamente se $int_a^infty (logx)/(x^3) dx$ converge o diverge?

Si, però l'esercizio non mi dice di calcolare l'integrale improprio, ma di stabilirne solo l'eventuale convergenza-divergenza. Il professore dice che bisogna usare, in questi casi, delle maggiorazioni o minorazioni con funzioni con ordine di infinito-infinitesimo noto, ma io non ho capito come si minora

[ciampax]

Hint: $\log x

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[Sk_Anonymous]

"ciampax":Hint: $\log x
ok, però quando devo fare minorazioni-maggiorazioni con funzioni più complesse come faccio? C'è per caso qualche trucchetto?

[ciampax]

Nessun trucchetto... devi usare un po' di buon senso!

[Sk_Anonymous]

"ciampax":Nessun trucchetto... devi usare un po' di buon senso!

Voglio essere sicuro di aver capito bene: quando sto in una situazione in cui ho una funzione (infinitesima) che non ha ordine di infinitesimo, la maggioro con una funzione più grande che ha ordine di infinitesimo maggiore di 1; se la disuguaglianza che ho impostato è vera, allora, siccome la mia funzione di partenza è minore (naturalmente non sempre, ma quando x tende a infinito) di una funzione con ordine di infinitesimo maggiore di 1, allora essa avrà per forza ordine di infinitesimo maggiore di 1 e quindi il suo integrale convergerà per confronto. E' giusto quello che ho detto? Grazie

[gugo82]

[OT]

"Soscia":non esiste l'ordine di infinitesimo e quindi non posso usare il teorema che mi diceva che l'integrale sarebbe stato convergente se il suo ordine di infinitesimo fosse stato >1

Mah... Sinceramente non capisco perchè si trattino i criteri di sommabilità con tanta superficialità quando basterebbe davvero poco per dimostrarli in maniera completa.

Ad ogni modo, vedi questo mio vecchio post.

[/OT]

[Sk_Anonymous]

"gugo82":[OT]

[quote="Soscia"]non esiste l'ordine di infinitesimo e quindi non posso usare il teorema che mi diceva che l'integrale sarebbe stato convergente se il suo ordine di infinitesimo fosse stato >1

Mah... Sinceramente non capisco perchè si trattino i criteri di sommabilità con tanta superficialità quando basterebbe davvero poco per dimostrarli in maniera completa.

Ad ogni modo, vedi questo mio vecchio post.

[/OT][/quote]
Gugo, non va bene risolvere questi esercizi in questo modo?

[gugo82]

E che domanda è?

Io lamentavo il fatto che ti hanno insegnato un criterio d'integrabilità troppo semplificato, che è come un tavolo con tre gambe invece di quattro... Insomma, il criterio funziona ma solo quando ti trovi in una situazione comoda; appena il problema si fa un po' più difficile, non funziona più.

[Sk_Anonymous]

"gugo82":E che domanda è?

Io lamentavo il fatto che ti hanno insegnato un criterio d'integrabilità troppo semplificato, che è come un tavolo con tre gambe invece di quattro... Insomma, il criterio funziona ma solo quando ti trovi in una situazione comoda; appena il problema si fa un po' più difficile, non funziona più.

Il professore ha spiegato tre criteri: quello del confronto, quello del confronto asintotico e quello della convergenza assoluta, ho letto il libro e non mi pare ci siano altri criteri. Non ho capito allora in che modo vanno studiati per bene questi integrali.

Ho letto il tuo post ed è quello che già sapevo, puoi essere più preciso? Ciao.

[gugo82]

Ah... Allora se "è quello che già sapevi" avresti potuto rispondere alla tua domanda anche senza postare sul forum.
Avevi tutti gli strumenti necessari, no?

[Sk_Anonymous]

"gugo82":Ah... Allora se "è quello che già sapevi" avresti potuto rispondere alla tua domanda anche senza postare sul forum.
Avevi tutti gli strumenti necessari, no?

si, ma in matematica quando uno sa una cosa non significa che la sa applicare correttamente...