Studio integrale
Un esercizio chiede di studiare al variare di $a$ la convergenza dell'integrale:
$int_0^5(x^2-3ax+2a^2)/(x^2-1)dx$
se esistono valori di $a$ per cui converge calcolarne i valori.
Mi chiedo innanzitutto quali sono i criteri per cui un integrale converge e questo lo si fa con i criteri del confronto ma in questo caso come conviene partire con i ragionamenti? Non so da che parte rifarmi.
Direi di spezzare l'intervallo poiché in $1$ abbiamo un problema, poi avrei pensato di scomporre il rapporto dei due polinomi in polinomi fratti più semplici per calcolarne l'integrale e poi alla fine trovare in funzione di $a$ l'integrale definito in $[0,5]$ per poi far le dovute analisi sul termine generale $a$. Cosa ne pensate?
$int_0^5(x^2-3ax+2a^2)/(x^2-1)dx$
se esistono valori di $a$ per cui converge calcolarne i valori.
Mi chiedo innanzitutto quali sono i criteri per cui un integrale converge e questo lo si fa con i criteri del confronto ma in questo caso come conviene partire con i ragionamenti? Non so da che parte rifarmi.
Direi di spezzare l'intervallo poiché in $1$ abbiamo un problema, poi avrei pensato di scomporre il rapporto dei due polinomi in polinomi fratti più semplici per calcolarne l'integrale e poi alla fine trovare in funzione di $a$ l'integrale definito in $[0,5]$ per poi far le dovute analisi sul termine generale $a$. Cosa ne pensate?
Risposte
Troppo casino.
La funzione è razionale, quindi è continua a parte (eventualmente) nelle radici del denominatore.
L'unica radice che cade nell'intervallo di integrazione è $1$, dunque quello è l'unico punto che crea problemi... E li crea solo se esso è un punto intorno al quale l'integrando non è limitato, il che accade solo se $1$ non è anche una radice del numeratore, ossia quando $a=1/2$ oppure $a=1$.
Dunque:
La funzione è razionale, quindi è continua a parte (eventualmente) nelle radici del denominatore.
L'unica radice che cade nell'intervallo di integrazione è $1$, dunque quello è l'unico punto che crea problemi... E li crea solo se esso è un punto intorno al quale l'integrando non è limitato, il che accade solo se $1$ non è anche una radice del numeratore, ossia quando $a=1/2$ oppure $a=1$.
Dunque:
[*:3n1mbt8e] se $a!= 1/2, 1$, l'integrando è un infinito d'ordine $1$ in $1$, quindi l'integrale $I(a)$ non è convergente;
[/*:m:3n1mbt8e]
[*:3n1mbt8e] se $a=1/2$, hai:
\[
I(a) = \int_0^5 \frac{x-\frac{1}{2}}{x+1}\ \text{d} x
\]
che si calcola a mano;
[/*:m:3n1mbt8e]
[*:3n1mbt8e] se $a=1$, hai:
\[
I(a) = \int_0^5 \frac{x-2}{x+1}\ \text{d} x
\]
che si calcola a mano ugualmente.[/*:m:3n1mbt8e][/list:u:3n1mbt8e]
"gugo82":
se $a!= 1/2, 1$, l'integrando è un infinito d'ordine $1$ in $1$, quindi l'integrale $I(a)$ non è convergente;
Purtroppo mi sfugge ! Facendo un esempio con $a=2$ avremmo $(x^2−6x+8)/(x^2-1)$ il valore del limite verrebbe $-8$ quindi infinitesimi dello stesso ordine, ma perché parli di infinito?!?! Perché si conclude con la non convergenza?
Grazie
Non vedo perché $x^2 -6x +8$ debba essere infinitesimo in $1$...
"gugo82":
Non vedo perché $x^2 -6x +8$ debba essere infinitesimo in $1$...
sinceramente non sto capendo ancora perché l'integrale è divergente
Fai i conti.
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