Studio Insieme, derivabilità
1) Studiare l'insieme numerico
$ X = {log_(1/2)(2n-1)/(2+3n),n in NN}
Giustificare i risultati.
-------------------------------------------------------------------------------
2) Stabilire, facendo uso della definizione, se la funzione
$ g(x) = e^(2|x|+1) $
risulta derivabile nel punto c=0.
-------------------------------------------------------------------------------
1) l'ho risolto cosi:
$ log_(1/2) (2n-1)/(2+3n)
$ 6n^2 + 10n -3n-5>4n+6n^2+2+3n $
$6n^2+7n-5>6n+7n+2$
Il secondo membro è sempre più grande, e questo cosa mi sta a significare? Come dovrei studiarlo questo insieme..
2) non l'ho capito cosa si deve fare, ho fatto uno svolgimento, vorrei capire cosa sta a significare il testo(anche se ripeto ho fatto uno svolgimento). Cosi dopo lo svolgo e lo propongo sul forum.
Testo corretto.
$ X = {log_(1/2)(2n-1)/(2+3n),n in NN}
Giustificare i risultati.
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2) Stabilire, facendo uso della definizione, se la funzione
$ g(x) = e^(2|x|+1) $
risulta derivabile nel punto c=0.
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1) l'ho risolto cosi:
$ log_(1/2) (2n-1)/(2+3n)
$ 6n^2 + 10n -3n-5>4n+6n^2+2+3n $
$6n^2+7n-5>6n+7n+2$
Il secondo membro è sempre più grande, e questo cosa mi sta a significare? Come dovrei studiarlo questo insieme..
2) non l'ho capito cosa si deve fare, ho fatto uno svolgimento, vorrei capire cosa sta a significare il testo(anche se ripeto ho fatto uno svolgimento). Cosi dopo lo svolgo e lo propongo sul forum.
Testo corretto.
Risposte
"anick":
1) Studiare l'insieme numerico
$ X = {log_1/2 (2n-1)/(2+3n),n in NN}
Giustificare i risultati.
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2) Stabilire, facendo uso della definizione, se la funzione
$ g(x) = e^(2|x|+1) $
risulta derivabile nel punto c=0.
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1) l'ho risolto cosi:
$ log_1/2 (2n-1)/(2+3n)$ log_1/2 (2n-1)/(2+3n) $ (2n-1)/(2+3n)>(2n+1)/3n+5) $
$ 6n^2 + 10n -3n-5>4n+6n^2+2+3n $
$6n^2+7n-5>6n+7n+2$
Il secondo membro è sempre più grande, e questo cosa mi sta a significare? Come dovrei studiarlo questo insieme..
2) non l'ho capito cosa si deve fare, ho fatto uno svolgimento, vorrei capire cosa sta a significare il testo(anche se ripeto ho fatto uno svolgimento). Cosi dopo lo svolgo e lo propongo sul forum.
2) Credo voglia dire se è derivabile in $x=0$. Comunque questa funzione è derivabile $AAx in RR-{0}$ cioè non è derivabile in $x=0$
Infatti se $x>0$ la derivata è $2e^(2x+1)$ ed $f'(0^+)=2e$ mentre per $x<0$ la derivata è $-2e^(-2x+1)$ ed $f'(0^-)=-2e$
"nicasamarciano":
2) Credo voglia dire se è derivabile in $x=0$. Comunque non è derivabile in $x=0$
Infatti se $x>0$ la derivata è $2e^(2x+1)$ ed $f'(0)=2e$ mentre per $x<0$ la derivata è $-2e^(-2x+1)$ ed $f'(0)=-2e$
Dice "facendo uso della definizione", che vuol dire...dovrei usare il rapporto incrementale?
Io l'ho svolto così, usando il rapporto incrementale:
$ lim_{h to 0}(e^(2(x+h)+1) - e^(2|x|+1))/h $
$lim_{x to 0}(e^(2|x|+1)-e)/x=lim_{x to 0}(e^(2|x|)*e-e)/x=lim_{x to 0}(e(e^(2x)-1))/x =lim_{x to 0}(2e^(2x))=2$
"anick":
[quote="nicasamarciano"]
2) Credo voglia dire se è derivabile in $x=0$. Comunque non è derivabile in $x=0$
Infatti se $x>0$ la derivata è $2e^(2x+1)$ ed $f'(0)=2e$ mentre per $x<0$ la derivata è $-2e^(-2x+1)$ ed $f'(0)=-2e$
Dice "facendo uso della definizione", che vuol dire...dovrei usare il rapporto incrementale?
Io l'ho svolto così, usando il rapporto incrementale:
$ lim_{h to 0}(e^(2(x+h)+1) - e^(2|x|+1))/h $
$lim_{x to 0}(e^(2|x|+1)-e)/x=lim_{x to 0}(e^(2|x|)*e-e)/x=lim_{x to 0}(e(e^(2x)-1))/x =lim_{x to 0}(2e^(2x))=2$
[/quote]Svolgiamolo col limite del rapporto incrementale
$ lim_{h to 0}(e^(2|x+h|+1) - e^(2|x|+1))/h= lim_{h to 0}e^(2|x|+1)*(e^(2(|x+h|-|x|)) - 1)/h=e^(2|x|+1)* lim_{h to 0}(e^(2(|x+h|-|x|)) - 1)/h$
Ora studiamo la funzione $f(x,h)_(h->0)=|x+h|-|x|$ quando $h->0$. Si nota che per $h->0$ se $x>0$ $f(x,h)_(h->0)->h$ mentre se $x<0$ $f(x,h)_(h->0)->-h$, cioè $f(x,h)_(h->0)={(h, x>0),(-h, x<0):}$ per cui possiamo riscrivere in questo modo
$f(x,h)_(h->0)=|x+h|-|x|=h*(x/|x|)$
Per cui
$e^(2|x|+1)* lim_{h to 0}(e^(2(|x+h|-|x|)) - 1)/h=e^(2|x|+1)* lim_{h to 0}(e^(2h*(x/|x|)) - 1)/h$
Sappiamo dai limiti notevoli che $lim_(x->0)(e^(kx)-1)/x=k$ per cui in tal caso $lim_{h to 0}(e^(h(2x/|x|)) -1)/h=2(x/|x|)$
Per cui in conclusione
$f'(x)=2(x/|x|)*e^(2|x|+1)$ che per $x>0$ vale $f'(x)=2*e^(2x+1)$ e per $x<0$ vale $f'(x)=-2e^(-2x+1)$ per cui
$f'(0^+)=2e$ e $f'(0^-)=-2e$. Per cui $f(x)$ non è derivabile in $x=0$
ok,grazie,adesso lo faccio passo passo
Per il primo qualcuno può aiutarmi?
Cioè io dopo che svolgo quel logaritmo dovrei vedere se è non crescente o non decrescente. A questo punto sfruttando il teorema sul limite di una successione monotona se essa è non decrescente il suo limite è l'estremo superiore(quindi essa è convergente se superiormente limitata,divergente positivamente in caso contrario),mentre se essa eè non crescente il suo limite è l'estremo superiore(quindi essa è convergente se inferiormente limitata,divergente negativamente in caso contrario).
Quindi, tenendo conto che l'insieme da studiare è $ X = {log_(1/2) (2n-1)/(2+3n),n in NN} $
Se io sostituisco n+1 ad n si ha
$ log_(1/2) (2n-1)/(2+3n)<=log_(1/2) (2(n+1)-1)/(2+3(n+1)) $
$ log_(1/2) (2n-1)/(2+3n)<=log_(1/2) (2n+1)/(3n+5) $
$ (2n-1)/(2+3n)>=(2n+1)/(3n+5) $
$ 6n^2 +10n -3n -4n -3n-5>= 4n+6n^2+2+3n $
$ 7n-5>=7n+2 $
A questo punto com'è? cresce,decresce?ha massimi e minimi?
Per il primo qualcuno può aiutarmi?
Cioè io dopo che svolgo quel logaritmo dovrei vedere se è non crescente o non decrescente. A questo punto sfruttando il teorema sul limite di una successione monotona se essa è non decrescente il suo limite è l'estremo superiore(quindi essa è convergente se superiormente limitata,divergente positivamente in caso contrario),mentre se essa eè non crescente il suo limite è l'estremo superiore(quindi essa è convergente se inferiormente limitata,divergente negativamente in caso contrario).
Quindi, tenendo conto che l'insieme da studiare è $ X = {log_(1/2) (2n-1)/(2+3n),n in NN} $
Se io sostituisco n+1 ad n si ha
$ log_(1/2) (2n-1)/(2+3n)<=log_(1/2) (2(n+1)-1)/(2+3(n+1)) $
$ log_(1/2) (2n-1)/(2+3n)<=log_(1/2) (2n+1)/(3n+5) $
$ (2n-1)/(2+3n)>=(2n+1)/(3n+5) $
$ 6n^2 +10n -3n -4n -3n-5>= 4n+6n^2+2+3n $
$ 7n-5>=7n+2 $
A questo punto com'è? cresce,decresce?ha massimi e minimi?
Secondo me è monotona crescente. difatti i suoi termini vanno sempre ad aumentare, ma il suo estremo inferiore essendo $n$ appartenente ad $NN$ dovrebbe essere 1...e il suo estremo superiore dovrebbe essere il suo limite?
gli altri simili li ho svolti, mi sono intrappolato in questo e mi rimane un giorno
gli altri simili li ho svolti, mi sono intrappolato in questo e mi rimane un giorno
No, la successione decresce e servono pochi conti per dimostrarlo: basta considerare la successione $(2n-1)/(2+3n)$ la quale cresce (basta disegnare $f(x)=(2x-1)/(2+3x)$). Si combina poi ciò con il fatto che il logaritmo in base $1/2$ decresce.
Nel calcolo , cioè nella disequazione che hai esaminato hai dimenticato i denominatori : è decrescente .
difatti il dubbio era proprio quello. Però scusatemi se sono puntiglioso: se essa è decrescente il suo estremo inferiore credo non esista essendo $n$ appartenente ad $NN$ e il suo estremo superiore coincide col massimo?quale.. 
Sto facendo troppa confusione 
Sto facendo troppa confusione
Data una successione non-crescente il suo estremo inferiore è il limite della successione, mentre l'estremo superiore è il primo valore assunto.
ok.
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